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El Principio De Conceptos Fundamentales Diferenciales de matemáticas
Introducción:
El principio de conceptos fundamentales diferenciales es una herramienta útil para el estudiante de matemáticas que requiere entender la teoría detrás de sistemas diferenciales para, entre otros, modelar sistemas naturales. La teoría diferencial establece una relación entre dos variables, una de las cuales depende de la otra, lo que resulta útil para una variedad de modelos matemáticos. Esta clase le enseñará los conceptos básicos de la teoría diferencial, proporcionando ejemplos prácticos y formula para ayudar a comprender mejor la teoría.
Teoría:
La teoría diferencial se basa en la expresión de la relación entre dos variables, una de las cuales depende de la otra. Esta relación se formula debido a que cualquier cambio en la variable dependiente se relaciona con un cambio en la variable independiente. Un ejemplo común de una relación diferencial es la expresión de la velocidad de una partícula en términos de la distancia:
v = dx/dt
Esta ecuación establece que la velocidad (v) de una partícula se determine mediante el cambio en la distancia (x) en un intervalo de tiempo dt. Al observar una relación diferencial, el estudiante debe comprender los conceptos fundamentales de varias leyes de la física, como las leyes de Newton. Estos conceptos le permiten comprender la influencia de fuerzas como la inercia, la masa y la gravedad en un sistema. Estos conceptos también le permiten brezar conceptos a nivel matemático como la integración y la diferenciación, la aproximación mediante series de Taylor y la forma de construir una solución diferencial para un sistema determinado.
El teorema fundamental de la diferenciación afirma que toda función continua es diferenciable en un determinado intervalo. Esto significa que cualquier función continuamente variada será una función lineal tal que la derivada se igual a una función diferenciable tal que:
f'(x) = dx/dt
Esta expresión de la relación entre dos variables, una de las cuales depende de la otra es fundamental para entender la teoría de diferenciación. Una forma simple de entender esta idea es considerarla como una representación gráfica de cómo el cambio en una variable afecta la otra. Estos conceptos se aplican a una variedad de modelos matemáticos y aplicaciones prácticas. El estudiante puede observar cómo la diferenciación es aplicable a problemas de ingeniería, economía y matemáticas en general.
Ejemplos Prácticos:
Ejemplo 1:
Un automovilista está viajando a una velocidad constante de 50 mph en una carretera recta. Si luego se acelera a 100 mph, que distancia recorrida entre los dos momentos?
Primero escribamos una ecuación diferencial para representar la situación dada. Usando notación caligráfica, la ecuación diferencial es:
dv/dt = 50 + (100 – 50)/dt
Integremos ambos lados de la ecuación diferencial para obtener una ecuación de desplazamiento:
dx/dt = 50 · dt + (100 – 50) · dt^2/2
Ahora, ponemos los valores conocidos para la velocidad inicial (vi) y la velocidad final (vf). Para esta situación, la velocidad inicial es 50 mph y la velocidad final es 100 mph. La distancia recorrida entonces es:
x = 50 · dt + (100 – 50) · dt^2/2
Resolvemos para la variable dt, reemplazando los valores conocidos:
dt = (2x – 100)/75
Por lo tanto, la distancia total recorrida es:
x = 2x – 50
Ejemplo 2:
Una pelota está siendo lanzada al aire desde el suelo con una velocidad inicial de 20 MPS. Usando diferenciación, especifique la altura maxima de la pelota, tiempo que le tomará llegar a la altura máxima y tiempo que le tomará regresar a la altura inicial.
Para este ejercicio, escribimos una ecuación diferencial para representar la situación. Usando notación caligráfica, la ecuación es:
dy/dt = 20 – g · y
donde g es el coeficiente de aceleración de la gravedad. Esta ecuación representa el movimiento vertical de la pelota.
Ahora, comencemos con la altura máxima de la pelota. Primero, integramos ambos lados de la ecuación para obtener una expresión para la altura:
y = 20·dt – g·dt2/2
En segundo lugar, evaluamos la ecuación en t = 0 para encontrar la altura máxima. La altura máxima es 20 MPS.
Para encontrar el tiempo que toma llegar a la altura máxima, igualamos la ecuación a 0 y solucionamos para el tiempo:
0 = 20·dt – g·dt2/2
dt = sqrt(20/g)
Por lo tanto, el tiempo que toma llegar a la altura máxima es sqrt(20/g).
Finalmente, para encontrar el tiempo que toma regresar a la altura inicial, volvemos a evaluar la ecuación de la altura, pero ahora en la altura dada de 0 MPS.
0 = 20 · dt – g · dt/2
dt = (20/g)
Por lo tanto, el tiempo que toma regresar a la altura inicial es (20/g).
Ejemplo 3:
Una partícula se mueve en un plano en dirección hacia la izquierda, exactamente un cuarto de circulo. ¿Cuál es la distancia recorrida por la partícula desde el origen hasta que llegue a la primera cuarta parte de la circunferencia?
Primero, formulamos una ecuación diferencial para representar la situación. Usando notación caligráfica, la ecuación es:
dx/dt = r·cos(θ)
donde r es el radio de la circunferencia y θ es el ángulo entre el origen y el punto actual.
Ahora, integramos ambos lados de la ecuación para encontrar la distancia recorrida por la partícula desde el origen hasta la primera cuarta parte de la circunferencia:
x = ∫r · cos(θ) · dt
Evaluamos la integral desde el origen, θ = 0, hasta el punto específico, θ = π/4. Sustituyendo los valores conocidos en la integral, llegamos a la expresión:
x = ∫0:π/4 r · cos(θ) · dt
Después de resolver la integral, llegamos a la respuesta:
x = radio · [sin(π/4) – sin(0)]
Por lo tanto, la distancia recorrida por la partícula desde el origen hasta la primera cuarta parte de la circunferencia es r · (1/sqrt(2))