Aproximación De Riemann

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Introducción a la Aproximación de Riemann

La aproximación de Riemann es una técnica matemática muy útil que se utiliza para estimar el valor de una integral indefinida. Esta técnica se inventó a principios del siglo XIX (1790-1826) por el célebre matemático alemán Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Esta técnica se puede usar para aproximar integrales que no se pueden calcular exactamente. La aproximación de Riemann se basa en el teorema de Cauchy-Marchiori que establece que la aproximación de Riemann es el límite de los polígonos de control en el que el número de elementos se despega hacia el infinito.

En esta clase abordaremos la teoría básica detrás de la aproximación de Riemann así como tres ejemplos prácticos con fórmulas. Estos ejemplos estarán diseñados para ayudarte a entender mejor el concepto y permitirán que te desenvuelvas con seguridad en la aproximación de Riemann. Después de completar esta clase, deberías conocer los fundamentos y ser capaz de aplicar esta técnica. Por último, para ayudarte a repasar el material, hay un examen final disponible al final de la clase.

Teoría

Como se mencionó anteriormente, la aproximación de Riemann se basa en el teorema de Cauchy-Marchiori. Esta teoría describe que una función es integrable si el límite del área total del polígono de control al aumentar el número de elementos hacia el infinito es igual al área bajo la curva. Esta teoría luego se utiliza para calcular el valor de una integral que no se puede calcular exactamente. La aproximación de Riemann divide la curva en rectángulos u otros polígonos y calcula el valor de la integral como el límite de área total de los polígonos.

Además de la teoría mencionada anteriormente, hay algunos principios importantes a considerar a la hora de aproximar el valor de una integral. Primero, hay que determinar los intervalos. Estos intervalos son los límites de la función que se van a utilizar para calcular el área. Estos intervalos se deben elegir cuidadosamente para asegurarse de que proporcionen la mejor aproximación posible. El segundo principio es elegir un tipo de polígono adecuado para cada intervalo. Esto requiere que el estudiante conozca los diferentes tipos de polígonos y sepa cuál es el adecuado para cada caso.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Supongamos que queremos aproximar el valor de la integral indefinida ∫dx/x usando una aproximación de Riemann. Elegiremos el intervalo del 0 al 1 para calcular el área. Luego, decidiremos el tipo de polígono a utilizar. En este caso, podemos usar un rectángulo con los lados en los extremos del intervalo. Esto nos daría el siguiente polígono:

Para calcular el valor de la integral, simplemente realizaremos el cálculo para cada segmento. El área total del polígono se puede calcular sumando los áreas de los segmentos

A = ∫₀¹ dx/x₀ + ∫₁² dx/x₁ + ∫₂³ dx/x₂ +… + ∫_n-1ⁿ dx/x_n-1

De esta forma, podemos calcular el área bajo la curva como el límite del área del polígono a medida que n → ∞. El resultado es el siguiente:

A = lim_n→∞(∫₀¹ dx/x₀ + ∫₁² dx/x₁ + ∫₂³ dx/x₂ +… + ∫_n-1ⁿ dx/x_n-1) = lim_n→∞(1/x₀ + 1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/x_n-1) = lim_n→∞ (n) = ∞

Ejemplo 2: Supongamos que queremos aproximar el valor de la integral indefinida ∫xdx usando una aproximación de Riemann. Elegiremos el intervalo del -1 al 1 para calcular el área. Luego, decidiremos el tipo de polígono a utilizar. En este caso, podemos usar un rectángulo con los lados en los extremos del intervalo. Esto nos daría el siguiente polígono:

Para calcular el valor de la integral, conservamos el mismo método que el ejemplo anterior. El área total del polígono se puede calcular sumando los áreas de los segmentos

A = ∫_-1⁰ xdx_-1 + ∫₀¹ xdx₀ + ∫₁ⁿ xdx₁ + … + ∫_n-1ⁿ xdx_n-1

De esta forma, podemos calcular el área bajo la curva como el límite del área del polígono a medida que n → ∞. El resultado es el siguiente:

A = lim_n→∞(∫_-1⁰ xdx_-1 + ∫₀¹ xdx₀ + ∫₁ⁿ xdx₁ + … + ∫_n-1ⁿ xdx_n-1) = lim_n→∞(-1/2x_-1 + 1/2x₀ + 1/2x₁ + … + 1/2x_n-1) = lim_n→∞ (n – 1/2) = 0

Ejemplo 3: Supongamos que queremos aproximar el valor de la integral indefinida ∫sin(x)dx usando una aproximación de Riemann. Elegiremos el intervalo del 0 al π para calcular el área. Luego, decidiremos el tipo de polígono a utilizar. En este caso, podemos usar un triángulo con los lados en los extremos del intervalo. Esto nos daría el siguiente polígono:

Para calcular el valor de la integral, seguimos el mismo método que en los ejemplos anteriores. El área total del polígono se puede calcular sumando los áreas de los segmentos

A = ∫₀^π/3 sin(x)dx₀ + ∫_π/3^2π/3 sin(x)dx₁ + ∫_2π/3^π sin(x)dx₂ +… + ∫_n-1ⁿ sin(x)dx_n-1

De esta forma, podemos calcular el área bajo la curva como el límite del área del polígono a medida que n → ∞. El resultado es el siguiente:

A = lim_n→∞(∫₀^π/3 sin(x)dx₀ + ∫_π/3^2π/3 sin(x)dx₁ + ∫_2π/3^π sin(x)dx₂ +… + ∫_n-1ⁿ sin(x)dx_n-1) = lim_n→∞(-1/2 sin(x₀) + 1/2 sin(x₁) + 1/2 sin(x₂) + … + 1/2 sin(x_n-1)) = lim_n→∞ (n – 1/2) = 0

Examen Final

Ahora que ya has completado la clase y repasado los contenidos, puedes hacer el examen final. El examen consta de 15 preguntas sobre la teoría y los ejemplos vistos en la clase. Está diseñado para evaluar tu comprensión del material y comprobar que eres capaz de aplicar la aproximación de Riemann. ¡Buena suerte!