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Definiciones y Teoremas de Diferenciación e Integración
Esta clase cubrirá los conceptos básicos de diferenciación y integración con teoría explicada y ejemplos prácticos resueltos con fórmulas.
Teoría
La diferenciación es una operación matemática en la que la derivada de una función es determinada. La integración es el proceso inverso que encuentra la integral de una función según una variable.
La diferenciación y la integración se utilizan para calcular propiedades relacionadas con funciones, como áreas bajo y sobre curvas, pendientes de curvas y máximos y mínimos locales.
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Calcular la derivada de una función.
Consideremos la función f(x) = x2 – 3x +2. Para calcular la derivada, calcularemos la primera derivada usando la notación Dy/Dx, que significa derivada de y con respecto a x.
Derivada de f(x) = Df(x)/Dx = 2x – 3
Ejemplo 2: Calcular el área bajo una curva.
Consideremos la función y = x2 + 3x +2, cuya gráfica se muestra a continuación. Para calcular el área bajo la curva, necesitamos integrar la función.
Integral de f(x) = ∫y dx = ∫ (x2 + 3x + 2) dx
Usando la regla de integración por partes,
∫y dx = x3/3 + 3x2/2 + 2x +C,
donde C representa una constante que se asigna según los límites de integración.
Así, el área bajo la curva entre los límites x = 0 y x = 1 será:
∫0,1 (x2 + 3x + 2) dx = (13/3 + 3 x 12/2 + 2x +c) – (03/3 + 3 x 02/2 + 2x +C) = 1 + 3/2 + 2 +C = 5/2 + C
Ejemplo 3: Calcular el área comprendida entre dos funciones.
Consideremos dos funciones, y1 = x2 + 3x + 1 y y2 = 6x -4. Para calcular el área comprendida entre estas dos funciones, primero calcularemos la integral para cada función.
Integral de y1(x) = ∫y1 dx = x3/3 + 3x2/2 + x +C
Integral de y2(x) = ∫y2 dx = 6x2/2 – 4x +C
A continuación, restamos las integrales para encontrar el área.
Área = (6x2/2 – 4x +C) – (x3/3 + 3x2/2 + x +C)
Área = 2x2/2 – 7x/3 +C
Usando los límites de integración x = 0 y x = 1,
Área = 2/2 – 7/3 +C = 1/3 + C