Contenido de la clase educativa: Calculo de La Derivada e Integral De Funciones
Introducción: Aprenderemos cómo realizar la derivada e integral de funciones mediante la aplicación de conceptos de Cálculo, así como llevar a cabo la verificación de los resultados obtenidos.
Teoría explicada
1. Definición y conceptos básicos: Comencemos con la definición de derivada e integral: La derivada de una función en un punto es el límite del cociente entre el cambio en el valor de la función y el cambio en el valor de la variable independiente, si este límite existe. La integral de una función es el área comprendida bajo la curva representativa de la función en un intervalo dado. Los conceptos básicos que debes conocer para poder trabajar con la derivada e integral de una función son los siguientes: límites, regla de l’Hôpital, cálculo diferencial e integral, crecimiento y decrecimiento de una función.
2. Derivada e Integral: Explicaremos cómo calcular la derivada e integral de una función empleando los conceptos de cálculo mencionados previamente. En primer lugar explicaremos cómo encontrar la derivada de una función, para ello debemos de conocer la regla de l’Hôpital que dice que, si el límite del cociente entre dos funciones tiende a infinito (aunque no se pueda expresar como número) entonces ese límite es igual al límite del cociente de las derivadas de las dos funciones. Una vez que conocemos la regla de l’Hôpital, explicaremos cómo llevarla a la práctica a través de ejemplos prácticos. Por otro lado, explicaremos cómo encontrar la integral de una función. Aquí necesitamos entender el concepto de área bajo la curva de una función, así como los diferentes tipos de integrales como la integral indefinida, la integral definida, la integral Riemmann, etc.
Ejemplos prácticos resueltos
Ejemplo 1: Calcular la derivada e integral de la siguiente función ƒ(x)=x^2+4x+3
Solución: Derivada: ƒ’(x)=2x+4
Integral: ƒ(x)=x^3/3+2x^2+3x+C, donde C es una constante.
Ejemplo 2: Calcular la derivada e integral de la siguiente función ƒ(x)=sin(2x)cos(4x)
Solución: Derivada: ƒ’(x)=2cos(2x)cos(4x)-8sin(2x)sin(4x)
Integral: ƒ(x)=-1/2cos(2x)sin(4x)+1/8sin(2x)cos(4x)+C, donde C es una constante.
Ejemplo 3: Calcular la derivada e integral de la siguiente función ƒ(x)=e^(2x+3)
Solución: Derivada: ƒ’(x)=2e^(2x+3)
Integral: ƒ(x)=1/2e^(2x+3)+C, donde C es una constante.