Clase sobre Teorema Fundamental del Cálculo y Definición de Area

Teoría

El teorema fundamental del cálculo es uno de los pilares fundamentales de la matemática moderna. Fue propuesto y demostrado por Gottfried Leibniz y sirve como uno de los principios básicos para el cálculo integral. La definición de área es necesaria para entender el teorema e incluye el concepto de un área bajo una curva.

El Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo establece que una función continua definida en un intervalo cerrado y derivable en todos los puntos dentro del intervalo, será igual a la integral de esa función, definida como:

Donde F (x) es la función derivada y a y b son los límites del intervalo en el que la función se está definiendo. Esto se conoce como primera parte del teorema; la segunda parte consiste en afirmar que la función primitiva que satisface la ecuación anterior es única, y se conoce como parte segunda del teorema.

Definición de Área

La definición de área se refiere a una cantidad numérica que describe la magnitud de una región geométrica, dentro del plano 2D. Se describe como el área bajo una curva y es medida de forma numérica generalmente expresada en unidades cuadradas tales como cm², m². Tan pronto como se designa una región geométrica, solamente se necesita un número simple para obtener su área, y este número nunca puede ser negativo.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1

Calcular la integral de la función F(x) = x² + 3, en el intervalo x = 0 y x = 4.

Para solucionar esto, primero hay que calcular la derivada de la función F(x) que es F'(x) = 2x. Ahora que tenemos la integrando, podemos usar la fórmula del teorema fundamental del cálculo para calcular la integral:

Como se muestra en la imagen, la respuesta es 32/3.

Ejemplo 2

Calcular la integral de la función F(x) = 2x³ + 5, en el intervalo x = 0 y x = 4.

De manera similar al ejemplo anterior, la derivada será F'(x) = 6x², entonces utilizamos la fórmula del teorema para calcular la integral:

Por lo tanto, la respuesta será 132.

Ejemplo 3

Encuentre el área bajo la curva de la función F(x) = 3x² + 10 en el intervalo x = 0 y x = 4.

En este caso, primero hay que encontrar la integral de F(x) en el intervalo dado. La derivada de F(x) es F'(x) = 6x, entonces hay que integrar F'(x) en el intervalo:

Ahora que tenemos la integral, podemos evaluarla en el intervalo entre 0 y 4. Usando el teorema fundamental del cálculo de la segunda parte:

La respuesta es 96/3. Por lo tanto, el área bajo la curva para el intervalo es 96/3.