Clase Educativa sobre Límite y Continuidad de una Función
En esta clase vamos a profundizar el tema sobre límite y continuidad de una función en las matemáticas, entendiendo los conceptos básicos, incluyendo la teoría explicada con tres ejemplos prácticos con sus respectivas fórmulas resueltas.
Definición de límite de una función
Un límite de una función es un valor hacia el cual se dirige el comportamiento de la función cuando x se acerca a un punto «a» específico. En otras palabras, cuando x se acerca al punto «a» desde arriba o abajo, el valor de la función se acerca a un número específico llamado límite.
Definición de continuidad de una función
Una función es continua en un punto «a» si el valor de la función en a (y) coincide con el límite en a, es decir, si el límite izquierdo coincide con el límite derecho en el punto «a».
Ejemplo 1: Límite y continuidad de una función
Encuentre el límite y la continuidad de la función f(x) = x2 + 3
Solución:
Primero, encontramos el límite de la función f(x) como x se acerca a 0. Para esto usamos la siguiente fórmula:
Fórmula: límitex→0 f(x) = límitex→0(x2 + 3) = 02 + 3 = 3
Ahora encontramos si la función es continua en x=0. Esto significa que el límite hacia la izquierda coincide con el límite hacia la derecha en el punto «0». Esto se verifica por la siguiente fórmula:
Fórmula:límitex→a– f(x)= límitex→a+ f(x)= f(a)
Recordando que a = 0, esto es equivalente a: límitex→0– f(x)= límitex→0+ f(x)= f(0)
Reemplazando los valores obtenemos:límitex→0–(x2 + 3) = límitex→0+(x2 + 3) = 02 + 3 = 3
Por lo tanto, la función es continua en el punto «0».
Ejemplo 2: Límite y continuidad de una función
Encuentre el límite y la continuidad de la función f(x)=x2– 4x + 3.
Solución:
Primero, encontramos el límite de la función f(x) como x se acerca a 3. Para esto usamos la siguiente fórmula: .
Fórmula: límitex→3 f(x) = límitex→3(x2 – 4x + 3) = 32 – 4*3 + 3 = 0
Ahora encontramos si la función es continua en x=3. Esto significa que el límite hacia la izquierda coincide con el límite hacia la derecha en el punto «3». Esto se verifica por la siguiente fórmula:
Fórmula:límitex→3– f(x)= límitex→3+ f(x)= f(3)
Reemplazando los valores obtenemos: límitex→3–(x2 – 4x + 3) = límitex→3+(x2 – 4x + 3) = 32 – 4*3 + 3 = 0
Por lo tanto, la función es continua en el punto «3».
Ejemplo 3: Límite y continuidad de una función
Encuentre el límite y la continuidad de la función f(x) = √x + 5.
Solución:
Primero, encontramos el límite de la función f(x) como x se acerca a 0. Para esto usamos la siguiente fórmula:
Fórmula: límitex→0 f(x) = límitex→0(√x + 5) = √0 + 5 = 5
Ahora encontramos si la función es continua en x=0. Esto significa que el límite hacia la izquierda coincide con el límite hacia la derecha en el punto «0». Esto se verifica por la siguiente fórmula:
Fórmula:límitex→0– f(x)= límitex→0+ f(x)= f(0)
Recordando que a = 0, esto es equivalente a: límitex→0– f(x)= límitex→0+ f(x)= f(0)
Reemplazando los valores obtenemos: límitex→0–(√x + 5) = límitex→0+(√x + 5) = √0 + 5 = 5
Por lo tanto, la función es continua en el punto «0».
En conclusión, los límites y la continuidad de una función pueden ser encontrados utilizando la fórmula para el límite y la fórmula para la continuidad. Luego, estas herramientas deben ser aplicadas para encontrar los límites y la continuidad de las funciones dadas.