Definiciones matemáticas de derivadas primera, segunda y superior
Esta clase educativa ofrece una explicación teórica de las definiciones matemáticas de la primera, segunda y tercera derivada, así como tres ejemplos sobre cómo resolver situaciones relacionadas con cada una de estas a través de las fórmulas pertinentes. Estos ejemplos ilustran el uso del concepto teórico y son útiles para el desarrollo de habilidades prácticas.
Primera Derivada
La primera derivada de una función es el límite de su gradiente mediante la formula :
f'(x) = limh->0(f(x+h) – f(x))/h
Por tanto, para encontrar la primera derivada de una función, primero hay que calcular el gradiente -la tasa de cambio de y con respecto a x- para valores cercanos a x. Esto se hace obteniendo los valores de x+h y de x, y restando los primeros de los segundos. Finalmente, se divide por h para determinar la primera derivada en ese punto.
Ejercicio 1
Encuentre la primer derivada de la siguiente función cuando x = 2.
f(x) = 3x2 + 2x + 1
En primer lugar, hay que hallar el gradiente para 2 y para 2 + h. Para ello hay que calcular los valores de f(2) y f(2+h).
f(2) = 3*22 + 2*2 + 1 = 17
f(2+h) = 3*(2+h)2 + 2 (2 + h) + 1 = 3h2 + 6h + 19
Ahora hay que restar f(2+h) de f(2), y dividir entre h para encontrar la primera derivada:
f'(2) = limh->0(3h2 + 6h + 19 – 17)/h = limh->0(6h +2)/h = 6
Segunda Derivada
La segunda derivada de una función se obtiene mediante la formula:
f’’(x) = limh->0 (f’(x+h) – f’(x))/h
La segunda derivada, como su nombre indica, corresponde a la tasa de cambio del gradiente de una función. Por tanto, para encontrarla, se necesita calcular el gradiente para cada punto entre x y x+h, restar ambosgradientes, y después dividir por h. Esto ofrece una medida de la variabilidad de la curvatura de la función, y si es positiva, disminuye a medida que nos alejamos de x; si es negativa, aumenta a medida que nos alejamos de x; y si es nula, la curvatura no se altera significativamente al alejarnos de x.
Ejercicio 2
Encuentre la segunda derivada de la siguiente función cuando x = 0.
f(x) = 4x3 + 6x2 + 2x
En primer lugar, hay que calcular el gradiente para x = 0 y para x = 0 + h. Lo Calculamos:
f’(0) = limh->0(4(0+h)3 + 6(0+h)2 + 2(0+h) – (4*03 + 6*02 + 2*0)/h = limh->0(4h3 + 6h2 + 2h)/ h = 0
f’(0+h) = limh->0(4(0+h)3 + 6(0+h)2 + 2(0+h) – (4*03 + 6*02 + 2*0)/h = limh->0(4(h+h)3 + 6(h+h)2 +2(h+h) – (4*h3 + 6*h2 + 2h))/h = 12h
Ahora hay que restar f’(0+h) de f’(0) y dividir entre h para encontrar la segunda derivada:
f’’(0) = limh->0(12h – 0)/h = 12
Tercera Derivada
La tercera derivada es el límite de la tasa de cambio del gradiente, que se halla mediante la fórmula:
f’’’(x) = limh->0(f’’(x+h) – f’’(x))/h
La tercera derivada es importante para adentrarnos aún más en la variabilidad de la curvatura de una función. Si es positiva, significa que la curva es convexa; si es negativa, indica una curvatura cóncava. Si es nula, la curvatura de la función no se ve alterada significativamente cuando nos alejamos de x.
Ejercicio 3
Encuentre la tercera derivada de la siguiente función cuando x = 0.
f(x) = 5x4 + 3x2 + 2x
En primer lugar, hay que calcular el gradiente para x = 0 y para x = 0 + h. Los Calculamos:
f’’(0) = limh->0(4(0+h)3 + 6(0+h)2 + 2(0+h) – (4*03 + 6*02 + 2*0)/h = 0
f’’(0+h) = limh->0(4(h+h)3 + 6(h+h)2 +2(h+h) – (4*h3 + 6*h2 + 2h))/h = 12h
Ahora hay que restar f’’(0+h) de f’’(0) y dividir entre h para encontrar la tercera derivada:
f’’’(0) = limh->0(12h – 0)/h = 12