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Introducción a la Formulación Matemática de Diferenciales y su uso en Áreas Específicas
¡Bienvenidos a este curso sobre formulación matemática de diferenciales y su aplicación en áreas específicas! En este curso te enseñaremos cómo formular y resolver problemas de diferenciales que se aplican en diferentes áreas. Al final del curso habrás aprendido a solucionar problemas matemáticos complejos relacionados con diferenciales para resolver problemas de diferentes áreas, como la ingeniería, la informática, la medicina, la biología, entre otros.
Objetivos
- Descubrir el modelo matemático por el cual se usan las ecuaciones diferenciales para modelar fenómenos reales.
- Resolver de forma analítica o numérica ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).
- Entender como la formulación matemática de diferenciales se aplica en áreas específicas, es decir, la ingeniería, la informática, la medicina, la biología.
Contenido
I. Introducción a la formulación matemática de diferenciales:
- Introducción y conceptos básicos de la matemática diferencial.
- Definición y propiedades de las soluciones de una EDO.
- Métodos numéricos para resolver EDOs.
II. Formulación Matemática de Diferenciales aplicadas en Diferentes Áreas:
- Ingeniería: Uso de EDO para modelar fenómenos físicos.
- Informática: Uso de EDO en simulación de procesos.
- Medicina: Uso de EDO para modelar la evolución de enfermedades.
- Biología: Uso de EDO para modelar la evolución de poblaciones.
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Uso de ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería
Consideremos el siguiente problema. Una masa de 10 kg se mueve alrededor de una circunferencia con una velocidad angular constante ω. Esta masa está adherida a una varilla de longitud L = 0.5 metros. Representemos al sistema mediante un diagrama de cuerpo libre.
Nuestra meta es encontrar la posición de esta masa mediante una ecuación diferencial con una condición inicial. Es decir, necesitamos resolver la EDO desacoplada de segundo orden siguiente:
$ x» + \frac{ω^2}{L^2} x = 0$
Hemos explicado que la posición de la masa estará dada por una EDO desacoplada de segundo orden. Para resolver este problema de forma analítica, necesitamos aplicar una transformación a esta EDO que nos permita identificar el tipo de solución a la que pertenece esta EDO. Esta transformación se conoce como transformada de Laplace, y se aplica a la siguiente ecuación:
$s^2X(s) + \frac{ω^2}{L^2} X(s) = \frac{x'(0)}{s} + \frac{x(0)}{s^2}$
Donde $X(s)$ representa una función de Laplace. Resolviendo esta ecuación, podremos encontrar la posición de la masa.
Ejemplo 2: Uso de ecuaciones diferenciales en el campo de la informática
Consideremos el siguiente problema. Estamos diseñando un sistema de almacenamiento en línea para una empresa, el cual debe soportar 10000 conexiones a la vez. El sistema debe ser diseñado de tal forma que el número de conexiones aumente de forma lenta al principio para luego aumentar de forma muy rápida. Modelaremos este sistema usando una EDO ordinaria con una condición inicial.
De esta manera, vamos a utilizar la siguiente EDO, donde X representa el número de conexiones y t el tiempo:
$X’ + tX = 10000$
La solución a esta EDO será entonces X(t) = 10000 – 10000e^( – t^2 /2 ). Esta solución representa el número de conexiones en el sistema en función del tiempo.
Ejemplo 3: Uso de ecuaciones diferenciales en el campo de la medicina
Consideremos el siguiente problema. Estamos estudiando el comportamiento de una enfermedad infecciosa, y queremos modelar la cantidad de personas infectadas con esta enfermedad en una población. Para resolver este problema, es necesario usar un modelo matemático, es decir, una EDO con una condición inicial.
Si suponemos que la enfermedad se transmite a una velocidad constante, entonces nuestro modelo será:
$I’ + kI = 0$
Donde I es la cantidad de personas infectadas con la enfermedad y k la velocidad de transmisión. La solución a esta EDO es entonces I(t) = I_0e^(-kt), donde I_0 representa el número de personas infectadas en el tiempo t = 0.
Conclusiones
Esperamos que ahora tenga una mejor comprensión de cómo formular y resolver problemas de diferenciales que se aplican en diferentes áreas. Hemos visto cómo la formulación matemática de diferenciales se aplica en la ingeniería, la informática, la medicina y la biología, así como también el uso de métodos numéricos para resolver EDOs. Finalmente, hemos proporcionado tres ejemplos prácticos que muestran cómo se aplican las notions específicas relacionadas con la formulación matemática de diferenciales en diferentes áreas.