Funciones Lineales Y Aplicaciones En El Calculo Diferencial: Teoría y Aplicaciones Prácticas

Objetivo General

El objetivo de esta clase es ayudar al alumno a entender los conceptos generales de funciones lineales y aplicaciones en el cálculo diferencial y guiarlo a través de algunos ejemplos prácticos.

Objetivos Específicos:

• Comprender los conceptos básicos de funciones lineales
• Aprender a resolver problemas de cálculo diferencial usando funciones lineales
• Identificar y resolver ejemplos particulares de funciones lineales

Contenido

Introducción

• Definición general de funciones lineales
• Ejemplos de funciones lineales
• Calculo de Pendientes y la ecuación de la recta de regresión
• Aplicaciones de las funciones lineales en el cálculo diferencial

Ejemplos Prácticos con Fórmulas

Ejemplo 1:

Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta de regresión para los siguientes datos:
(2,4), (3,6), (4,8)

Solución:

Aquí estamos buscando la ecuación de la recta de regresión de un conjunto de datos. Usaremos los siguientes ejemplos para calcular el coeficiente de la recta de regresión de estos datos.

Pendiente (m):

La pendiente se determina usando la siguiente fórmula:

$$m = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}$$

Donde:

$x_i$ es el valor de x para el punto i
$y_i$ es el valor de y para el punto i
$\bar{x}$ es el valor promedio de x para todos los puntos
$\bar{y}$ es el valor promedio de y para todos los puntos

Usando esta fórmula, encontramos que la pendiente para estos datos es igual a:

$$m = \frac{(2-3)(4-5) + (3-3)(6-5) + (4-3)(8-5)}{(2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2} = \frac{-1 + 0 + 1}{1 + 0 + 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Ecuación de la recta de regresión:

La ecuación de la recta de regresión se calcula usando la siguiente fórmula:

$$y = mx + b$$

Donde:

$m$ es la pendiente de la línea
$b$ es la intersección con el eje y

Usando la ecuación anterior, la pendiente encontrada en el paso anterior, y los siguientes valores para $x_i$ y $y_i$:

$x_1 = 2, y_1 = 4$
$x_2 = 3, y_2 = 6$
$x_3 = 4, y_3 = 8$

podemos calcular la intersección para encontrar la ecuación de la recta de regresión:

$$y = mx+ b$$

$$4 = 1(2) + b \Rightarrow b = 2$$

$$y = 1x + 2$$

Por lo tanto, la ecuación de la recta de regresión para estos datos es:

$$y = 1x + 2$$

Ejemplo 2:

Encuentra la función lineal para la siguiente información:

$f(1) = 4$
$f(2) = 6$

Solución:

Encontraremos la función lineal usando la siguiente fórmula:

$$f(x) = mx + b $$

Donde:

$m$ es la pendiente para la línea
$b$ es la intersección de la línea con el eje y

Usando los siguientes valores para $x_i$ y $y_i$:

$x_1 = 1, y_1 = 4$
$x_2 = 2, y_2 = 6$

Podemos calcular la pendiente usando la misma fórmula encontrada en el ejemplo anterior para encontrar la pendiente de la línea:

$$m = \frac{(1-1.5)(4-5) + (2-1.5)(6-5)}{(1-1.5)^2 + (2-1.5)^2} = \frac{-1 + 1}{1 + 1} = 0$$

Una vez que tenemos el valor de la pendiente, podemos encontrar la intersección usando los siguientes valores:

$$f(1) = m(1) + b \Rightarrow 4 = 0(1) + b \Rightarrow b = 4$$

Por lo tanto, la función lineal para estos datos es:

$$f(x) = 0x + 4$$

Ejemplo 3:

Encuentra la función lineal para la siguiente información:

$f(2) = 4$
$f(3) = 8$

Solución:

Encontraremos la función lineal usando la misma fórmula encontrada en el ejemplo anterior:

$$f(x) = mx + b $$

Donde:

$m$ es la pendiente para la línea
$b$ es la intersección de la línea con el eje y

Usando los siguientes valores para $x_i$ y $y_i$:

$x_1 = 2, y_1 = 4$
$x_2 = 3, y_2 = 8$

Podemos calcular la pendiente usando la misma fórmula para encontrar la pendiente de la línea:

$$m = \frac{(2-2.5)(4-6) + (3-2.5)(8-6)}{(2-2.5)^2 + (3-2.5)^2} = \frac{-2 + 2}{1 + 1} = 0$$

Una vez que tenemos el valor de la pendiente, podemos encontrar la intersección usando los siguientes valores:

$$f(2) = m(2) + b \Rightarrow 4 = 0(2) + b \Rightarrow b = 4$$

Por lo tanto, la función lineal para estos datos es:

$$f(x) = 0x + 4$$

Conclusión

En esta clase se puso énfasis en los conceptos y aplicaciones básicos de las funciones lineales y el cálculo diferencial. Se discutieron algunos ejemplos específicos para ayudar al alumno a comprender mejor los conceptos. Al final de la clase, el alumno debería tener una comprensión de cómo calcular la pendiente de una línea de regresión, así como cómo encontrar la ecuación para una función lineal dada.