Clase sobre Ecuaciones Diferenciales y sus Respectivas Soluciones – Matemáticas
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones diferenciales son importantes herramientas para modelar situaciones matemáticas muy complejas, donde se especifican respecto al tiempo o a una variable desconocida. Su formulación básica se realiza en términos de términos diferenciales usando funciones matemáticas conocidas. En este tema, se analizaran las ecuaciones diferenciales, sus soluciones y formas de aplicarla a la vida real.
Teoría Explicada
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una o más variables desconocidas, sus derivadas con respecto al tiempo y algunas funciones conocidas. Estas se escriben generalmente como:
dy/dx = f(x, y)
Aquí, y es la incógnita y f(x, y) es una función conocida.
También entendemos las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) como cualquier ecuación diferencial que contenga solo una incógnita dependiente. Esta incógnita se considera dependiente, ya que su valor se toma dependiendo del valor de la variable independiente, que generalmente es el tiempo.
Las ecuaciones diferenciales se pueden utilizar para predecir el comportamiento de un sistema en el futuro, o para identificar los valores iniciales que hacen que un sistema alcance un estado en un momento dado.
3 Ejemplos Prácticos y Soluciones
Ejemplo 1
Resuelva la siguiente ecuación diferencial homogénea:
y’ + 5y = 0
Solución:
Primero, determinamos los factores que multiplican a la incógnita:
Aquí, el factor constante es 5. El paso siguiente es encontrar el factor de integración.
Factor de integración,
I = 1/5
Ahora, multiplicamos el factor de integración a ambos lados de la ecuación:
y’ + 5y = 0 ⇒ (1/5)y’ + (1/5)(5y) = 0
Ahora, integramos ambos lados de la ecuación:
∫(1/5)y’ + (1/5)(5y) dx = ∫0 dx
Después, reordenamos la ecuación:
∫y’dx + ∫5ydx = 0 ⇒ f(y) + C = 0
Ahora, reordenamos y despejamos a y:
f(y) = -C ⇒ y = -C/f(y)
Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es:
y = -C/5
Ejemplo 2
Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
2y’ + xy = x^2
Solución:
Primero, determinamos los factores que multiplican a la incógnita:
Aquí, el factor constante es 2. El paso siguiente es encontrar el factor de integración.
Factor de integración,
I = x/2
Ahora, multiplicamos el factor de integración a ambos lados de la ecuación:
2y’ + xy = x^2 ⇒ (x/2)2y’ + (x/2)xy = (x^2/2)
Ahora, integramos ambos lados de la ecuación:
∫(x/2)2y’ + (x/2)xy dx = ∫(x^2/2) dx
Después, reordenamos la ecuación:
∫2y’dx + ∫xydx = ∫x^2 ━─dx ⇒ f(y) + g(x) = x^3/3 + C
Ahora, reordenamos y despejamos a y:
f(y) = x^3/3 + C – g(x) ⇒ y = (x^3/3 + C – g(x))/f(y)
Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es:
y = (x^3/3 + C – g(x))/2
Ejemplo 3
Resuelva la siguiente ecuación diferencial no homogénea:
x^2y’ + y = x
Solución:
Primero, determinamos los factores que multiplican a la incógnita:
Aquí, el factor constante es 1. El paso siguiente es encontrar el factor de integración.
Factor de integración,
I = x^-2
Ahora, Multiplicamos el factor de integración a ambos lados de la ecuación:
x^2y’ + y = x ⇒ (x^-2)x^2y’ + (x^-2)y = (x^-2)x
Ahora, integramos ambos lados de la ecuación:
∫(x^-2)x^2y’ + (x^-2)ydx = ∫(x^-2)xdx
Después, reordenamos la ecuación:
∫x^2y’ dx + ∫x^-2ydx = ∫x^-2xdx ⇒ f(y) + g(x) = x^2/2 + C
Ahora, reordenamos y despejamos a y:
f(y) = x^2/2 + C – g(x) ⇒ y = (x^2/2 + C – g(x))/f(y)
Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es:
y = (x^2/2 + C – g(x))/x^2