Clase Educativa: El Teorema Fundamental De Las Funciones De Una Variable Real
Introducción:
El Teorema Fundamental de las Funciones de Una Variable Real proporciona una herramienta útil para examinar el comportamiento de una función en un determinado punto de su dominio. Esta teoría ha demostrado ser una herramienta valiosa para la comprensión del comportamiento de una función cerca de un punto particular en su dominio. En esta clase, profundizaremos en el teorema y daremos ejemplos prácticos de su aplicación.
Teoría Explicada:
El Teorema Fundamental de las Funciones de Una Variable Real afirma que si una función es continua y derivable en un punto, entonces la pendiente de la función en ese punto es igual a la razón del cambio de valor de la función alrededor de ese punto.
El teorema incluye una definición adicional para ayudar a visualizar mejor la pendiente: permite definir una curva que se acerca cada vez más a la función como algo que se conoce como función lineal, que se representa como una recta tangente. Esta recta puede ayudar a visualizar el comportamiento de la función en el punto dado.
El teorema también se utiliza para calcular la pendiente de una función en un punto arbitrario. Se trata de una herramienta importante para el estudio de la función en sus múltiples extremos y cambios de escalón.
Ejemplos Prácticos:
Ejemplo 1: La función f (x) = x2 + 3x tiene un punto de inflexión en x = -3. En este punto, la pendiente es -3. Use el teorema fundamental para determinar la pendiente en x = -3.
Solución: La derivada de la función f (x) = x2 + 3x es f’ (x) = 2x + 3. En x = -3, f’ (-3) = 2(-3) + 3 = -3. Por lo tanto, la pendiente de la función f (x) = x2 + 3x en x = -3 es -3, que coincide con el resultado del teorema fundamental.
Ejemplo 2: La función g (x) = x4 – 4x3 tiene un punto de inflexión en x = 0. En ese punto, la pendiente es 0. Usa el teorema fundamental para determinar la pendiente en x = 0.
Solución: La derivada de la función g (x) = x4 – 4x3 es g’ (x) = 4x3 – 12x2. En x = 0, g’ (0) = 4(0) – 12(0)2 = 0. Por lo tanto, la pendiente de la función g (x) = x4 – 4x3 en x = 0 es 0, que coincide con el resultado del teorema fundamental.
Ejemplo 3: La función h (x) = x3 + 3x2 – 2 tiene un punto de inflexión en x = -1. En ese punto, la pendiente es -3. Usa el teorema fundamental para determinar la pendiente en x = -1.
Solución: La derivada de la función h (x) = x3 + 3x2 – 2 es h’ (x) = 3x2 + 6x. En x = -1, h’ (-1) = 3(-1)2 + 6(-1) = -3. Por lo tanto, la pendiente de la función h (x) = x3 + 3x2 – 2 en x = -1 es -3, que coincide con el resultado del teorema fundamental.