Serie De Taylor

Serie de Taylor de Matemáticas

La Serie de Taylor es un tema importante de matemáticas. Se usa para obtener una aproximación de una función de polaridad para un punto particular. Esto es útil cuando uno quiere aproximar la solución de una ecuación diferencial. Esta lección profundizará en los conceptos clave relacionados con la Serie de Taylor y proporcionará ejemplos y ejercicios para practicarlos.

Teoría de la Serie de Taylor Explicada

En la Serie de Taylor, la curva se aproxima mediante una suma infinita de polinomios con un cierto grado. Los grados del polinomio se llaman los términos de Taylor. Esto se conoce como la expansión de Taylor de la función. Esta función se define como una función en un entorno específico. El concepto se basa en la idea de que una función puede aproximarse de manera bastante precisa mediante una suma infinita de términos de Taylor. Las fórmulas para cada término son específicas para la función y para el punto específico, así como el número de términos para los que se va a hacer la aproximación.

Ejemplos Prácticos de la Serie de Taylor

Ejemplo 1: Expansión de Taylor de f(x) = Cos(x)

Para este ejemplo, consideremos el punto x = 0 para la expansión. La fórmula para el término general de esta serie es: f_n(x) = (1/n!) * {dⁿ f(x)}/{dxⁿ}. El primer término es f₀(x) = 1, esto se conoce como término cero. El segundo término es f₁(x) = 0. El tercero es f₂(x) = -1/2!. Finalmente, el cuarto término es f₃(x) = 0. La expansión en serie de Taylor para la función f(x) = cos(x) es entonces:

f(x) = cos(x) ≅ 1 – (1/2!) x² = 1 – (x²/2)

Ejemplo 2: Expansión de Taylor de f(x) = ln(x)

Para este ejemplo, consideremos x = 1 para la expansión. Esta vez, la fórmula para el término general de esta serie es: f_n(x) = (1/n!) * {dⁿ f(x)}/{dxⁿ xⁿ}. El primer término es f₀(x) = 0. El segundo término es f₁(x) = 1. El tercero es f₂(x) = 0. El cuarto término es f₃(x) = -1/3!. Finalmente, el quinto término es f₄(x) = 0. La expansión en serie de Taylor para la función f(x) = ln(x) es entonces:

f(x) = ln(x) ≅ x – (1/2!) x² + (1/3!) x³ – (1/4!) x⁴ = x – (x²/2) + (x³/3) – (x⁴/4)

Ejemplo 3: Expansión de Taylor de f(x) = exp(x)

Para este ejemplo, consideremos un número cualquiera de x para la expansión. La fórmula para el término general de esta serie es: f_n(x) = {dⁿ f(x)}/{n! dxⁿ}. El primer término es f₀(x) = 1. El segundo término es f₁(x) = x. El tercero es f₂(x) = x²/2. El cuarto término es f₃(x) = x³/6. Finalmente, el quinto término es f₄(x) = x⁴/24. La expansión en serie de Taylor para la función f(x) = exp(x) es entonces:

f(x) = exp(x) ≅ 1 + x + (x²/2) + (x³/6) + (x⁴/24) = 1 + x + (x²/2) + (x³/6) + (x⁴/24)