Derivadas Parciales Y Partes Separables de Matemáticas
Introducción
Una derivada parcial es una versión generalizada de la derivada ordinaria. En la derivada parcial, se toman en cuenta todas las variables involucradas en una ecuación, no sólo una. De manera similar a la derivada ordinaria, se calcula la tasa de cambio de una variable con respecto a otra, pero ahora hay varias variables involucradas.
Una parte separable es una ecuación diferencial que se puede separar en dos partes: una que depende sólo de la variable independiente, y otra que depende sólo de la variable dependiente. Una parte separable diferencia maneras distintas de abordar una ecuación diferencial de primer orden.
Teoría explicada/discusión
Una derivada parcial es la pendiente de la línea tangente para una función que contiene dos o más variables. Para calcular el valor de la derivada parcial de una función, primero hay que identificar la variable en cuestión, luego averiguar la pendiente con respecto a esa variable, mientras que todas las otras variables se mantienen constantes. Esta pendiente se calcula como la derivada ordinaria pero con el uso de la notación de la derivada parcial.
Por ejemplo, consideremos la función Z = (2xy + x^2)(a + bx); entonces, la derivada parcial de Z con respecto a x es Z’_x = (2y + 2x)(a + bx) + (2xy + x^2)(b).
Una parte separable es un tipo especial de ecuación diferencial en la que una parte de la ecuación depende sólo de la variable independiente (generalmente x) y la otra parte sólo de la variable dependiente (generalmente y). Cuando se trata de una ecuación de la forma y’ = f(x) g(y), podemos reescribir la ecuación como g(y) dy = f(x) dx para que sean separables. Para encontrar la solución, hay que integrar ambas partes: primero la parte que contiene g(y) y luego f(x).
Por ejemplo, consideremos la ecuación y’ = 2x – 3y; aquí, f(x) = 2x y g(y) = -3y. Entonces, podemos separar f(x) y g(y) como -3y dy = 2x dx. Integrando ambas partes, obtenemos -3y^2/2 = x^2 + c, donde c es una constante.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1
Calcular la derivada parcial de la ecuación f(x, y, z) = (2x + y)(y + z)(z + x).
Solución: Para calcular la derivada parcial de la función con respecto a x, hay que derivar la función con respecto a x, mientras que las demás variables se mantienen constantes. Entonces,
f’_x = (2 + 0)(y + z)(z + x) + (2x + y)(0 + z)(1 + 0) + (2x + y)(y + z)(0 + 1)
f’_x = 2(y + z)(z + x) + (2x + y)(z) + (2x + y)(y + z)
f’_x = 2(y + z)^2 + (2y + 2xz + 2xy + y^2)
Ejemplo 2
Resolver la ecuación diferencial dy/dx = x3 + 3×2, con condiciones iniciales y(0) = 0.
Solución: La ecuación diferencial no es de segundo orden, así que primero reescribimos la ecuación con la forma y’ = f(x) g(y). Entonces, f(x) = x3 + 3×2 y g(y) = 1. Ahora, podemos separar f(x) y g(y) para que sean separables:
x3 dx + 3×2 dy = dy
Integrando la parte de x, obtenemos:
x4/4 + 3×3/3 = y + c
Ahora sustituimos los valores de la condición inicial para encontrar la constante:
0 = y + c
Entonces, c = -y
Reemplazando c en la solución, obtenemos:
x4/4 + 3×3/3 – y = 0
Esta es nuestra solución final.
Ejemplo 3
Calcular la derivada parcial de F(x, y) = xe^y + xy^2.
Solución: Para calcular la derivada parcial de la función con respecto a x, hay que derivar la función con respecto a x, mientras que la variable y se mantenga constante. Entonces:
F’_x = e^y + y^2
Y eso es todo.