Curso basico sobre la Funcion de Densidad de Probabilidad

Teoria

La Funcion de Densidad de Probabilidad es una medida de probabilidad usada para describir la cantidad de veces qeu un resultado aleatorio esperado ocurrira en un experimento. Esta funcion se puede definir como una funcion continua, es decir, que la densidad de probabilidad puede variar con un numero infinito de posibles resultados. Esta funcion se aplica para encontrar la probabilidad de un evento en el que un resultado puede variar, como la media de datos. Esta probabilidad se determina evaluando los valores en la funcion de densidad de probabilidad con los nuemeros correspondientes.

La curva de la Funcion de Densidad de Probabilidad se ve de esta manera:

La forma de la curva representa la distribucion de los valores. La altura de la curva en cada punto corresponde a la probabilidad de que el resultado caiga en ese punto. La integral de la funcion de densidad de probabilidad es igual a la unidad, que significa que es el cero de posibilidades de que el resultado no este en algun punto de la curva.

Ejemplos Práctico

Ejemplo 1: Mediana de una Distribucion Normal

Consideremos una distribucion normal con media mu = 20 y desviacion estandar sigma = 3. La media de esta distribucion se define como el punto de la curva donde la probabilidad de resultados esta equilibrada sobre los dos lados. La Funcion de Densidad de Probabilidad para esta distribucion se ve asi:

Para encontrar la mediana de esta distribucion, necesitamos encontrar el punto donde la probabilidad de todos los resultados mayores que 20 es igual a la probabilidad de todos los resultados menores que 20. Esto se puede calcular integralizando la funcion de densidad de probabilidad entre los valores de -infinito a mu para obtener la probabilidad de los resultados mayores que mu. Esta integral se ve asi:

Si resolvamos la integral, encotraremos que este valor es 0.5. Esto significa que la probabilidad de resultados mayores que 20 es exactamente la misma que la probabilidad de resultados menores que 20. Por lo tanto, la mediana de esta distribución es 20.

Ejemplo 2: Promedio de una distribucion uniforme

Consideremos ahora una distribución uniforme con un rango de valores entre 3 y 6. Esta distribución es uniformemente distribuida, lo que significa que la probabilidad de un resultado en cualquier punto es la misma. Su función de densidad de probabilidad se vería de esta manera:

Para calcular la media de esta distribución, se necesita encontrar el punto promedio de la curva. Esto se puede calcular integralizando la función de densidad de probabilidad a lo largo de los valores entre 3 y 6. Esta integral se ve así:

Resolviendo la integral, encontraremos que el promedio es 4.5. Por lo tanto, el promedio o media para esta distribución es 4.5.

Ejemplo 3: Desviacion Estandar de una distribucion uniforme

Consideremos ahora una distribución uniforme con un rango de valores entre 1 y 5. Su Funcion de Densidad de Probabilidad se vería de esta manera:

Para calcular la desviación estandar, necesitamos calcular el promedio absoluto de los valores de la distribución. Esto se puede calcular integralizando la funcion de densidad de probabilidad entre los valores de 1 y 5. Esta integral se ve asi:

Resolviendo la integral, encontraremos que el promedio es 3. La desviación estandar de esta distribución se puede calcular integralizando la función de densidad de probabilidad al cuadrado entre los valores de 1 y 5. Esta integral se ve así:

Resolviendo la integral, encontraremos que el promedio al cuadrado es 11.5. Esto significa que la desviación estandar es la raíz cuadrada del promedio al cuadrado, es decir, 3.38. Por lo tanto, la desviación estandar de esta distribución es 3.38.