Teorema De Separación De Variables

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Clase sobre Teorema de Separación de Variables de Matemáticas

Introducción

El Teorema de Separación de Variables se refiere a un método de resolución de una ecuación diferencial que asegura la descomposición de una función en partes independientes. Este es un método matemático que establece una relación entre una función de dos variables y una o más funciones de una sola variable para permitir la solución de la función original. El teorema también se puede usar para encontrar soluciones para sistemas de ecuaciones diferenciales.

Teoría

Para entender el teorema de la separación de variables, es importante comprender algunos conceptos básicos. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función en lugar de una sola variable. Para la separación de variables, la ecuación debe ser homogénea, lo que significa que cada término debe estar multiplicado por una misma función, en lugar de una constante. Si esta condición se cumple, entonces se dice que la ecuación es «separable».

Una vez que se separan las variable, podemos encontrar la solución resolviendo para una variable a la vez. Por ejemplo, si una función depende de variables independientes t y x, una vez que se ha separado la variable t al lado izquierdo de la función, se puede resolver la función para encontrar la solución para t en términos de x. Esta solución está contenida en una función separada, y la solución para x se encuentra al resolver esta función.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1:
Resolver la ecuación diferencial

y’ + 9y = e^-3x

Paso 1: Separar las variables:

y’ + 9y = e^-3x → dy/y = -3e^-3xdx

Paso 2: Resolver la ecuación:

∫ dy/y = ∫-3e^-3xdx
⇒ ln| y | = -e^-3x + C
⇒ y = Ce^-3x

Por lo tanto, la solución es y = Ce^-3x.

Ejemplo 2:
Resolver la ecuación diferencial

y’ – y = 4x.

Paso 1: Separar las variables:

y’ – y = 4x → dy/y = 4dx

Paso 2: Resolver la ecuación:

∫ dy/y = ∫4dx
⇒ ln| y | = 2x² + C
⇒ y = Ce^2x2

Por lo tanto, la solución es y = Ce^2x2.

Ejemplo 3:
Resolver la ecuación diferencial

y’ + 4y = 8x².

Paso 1: Separar las variables:

y’ + 4y = 8x² → dy/y = 8x²dx

Paso 2: Resolver la ecuación:

∫ dy/y = ∫8x²dx
⇒ ln| y | = 4x³/3 + C
⇒ y = Ce^4x3/3

Por lo tanto, la solución es y = Ce^4x3/3.