Clase Educativa Sobre Circulos Y Elipses
Los círculos y las elipses son curvas en la geometría, que se forman al cortar un plano con un cono. El círculo es una elipse con una relación de simetría de 2:1, mientras que la elipse es una curva en el plano formada por los dos focos y una línea recta. En esta lección, profundizaremos en la teoría detrás de circulos y elipses, y luego proveeremos ejemplos para ayudar en la comprensión de los conceptos.
Teoría Detrás del Circulos y Elipses
Los círculos y las elipses se consideran curvas sexagesimales en el plano. Esto significa que todos los puntos en la curva se encuentran a la misma distancia de dos puntos fijos, conocidos como dontes focales. Estas diferencia elipse de un arco de círculo, donde los puntos de la curva se encuentran a la misma distancia de un único punto focal, y la longitud de la curva es parte de un círculo con el mismo radio. La razón por la que una elipse es diferente de un círculo se debe a que los focos de la elipse se colocan en diferentes puntos, lo que genera una curva que se parece a una espiral.
En su forma general, una elipse puede ser expresada como una ecuación general:
(x – a)^2/a^2 + (y – b)^2/b^2 = 1
Donde a y b son los dos semiejes, e y x computarían los valores para un punto en la elipse.
En su forma más simple, las ecuaciones de un círculo pueden ser expresadas de la siguiente manera:
x^2 + y^2 = r^2
Donde x e y son valores para un punto en el círculo, y r es el radio del círculo.
Ejemplos Prácticos de Circulos y Elipses
1. Ecuación Para Una Elipse Centrada en el Origen
Sea dada la elipse con una relación de simetría de ejes a/b = 2/3, centrada en el origen. Encuentra una ecuación para la elipse.
La ecuación general para una elipse es:
(x – a)^2/a^2 + (y – b)^2/b^2 = 1
Para este ejemplo, la elipse está centrada en el origen, por lo tanto, ambos semiejes, a y b, son iguales a 0. Reemplazando estos valores, tenemos:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Teniendo en cuenta que a/b = 2/3, entonces a = 2b. Por lo tanto, la ecuación para la elipse centrada en el origen es:
x^2/4 + y^2/3 = 1
2. Encuentra los Valores de un Punto en un Círculo de Radio 4
Sea dado un círculo con un radio de 4. El punto P(-1, 3) esta en el circulo.
Usando la ecuación para un círculo, tenemos:
x^2 + y^2 = r^2
Reemplazando con los valores proporcionados, tenemos:
(-1)^2 + 3^2 = 4^2
Resolviendo, obtenemos:
-1 + 9 = 16
Y verificamos que la solución es correcta, ya que -1 + 9 = 16.
3. Encuentra los Valores de los Ejes de una Elipse, Dadas Sus Ecuaciones
Sea dada una elipse con la siguiente ecuación:
5x^2 + 9y^2 = 45
Para encontrar los valores de los dos semiejes a y b, primero encontramos la razón entre ambos. Para ello, tomamos la raíz de ambos lados, lo cual da:
sqrt(5x^2) + sqrt(9y^2) = sqrt(45)
Sacamos une radical común de ambos lados, y desarrollamos los radicales, obteniendo:
sqrt(5) x + sqrt(9) y = sqrt(45)
Observamos que el coeficiente de x y y es igual (sqrt(5) = sqrt(9)), por lo cual los semiejes tienen una relación de 2:1. Por lo tanto, el valor de los semiejes es de 2 y 1.