Superficies Parametricas de Matematicas.
Descripción:
Esta clase explorará superficies paramétricas primero presentando una definición general y luego proporcionando una comprensión profunda a través de ejemplos prácticos detallados.
Teoría:
Una superficie paramétrica es una superficie definida mediante una función vectorial, llamada función paramétrica. Esta función paramétrica recibe dos parámetros (t y s, por ejemplo) y devuelve un vector. Estos dos parámetros representan los ejes horizontales y verticales de la superficie, respectivamente.
Una vez que se define la superficie mediante una función vectorial paramétrica, podemos obtener ecuaciones de superficie para hallar las posiciones de los puntos en la superficie. Para hacerlo, debemos primero calcular las derivadas parciales respecto a losparámetros (t y s). Estas derivadas indican la dirección y la magnitud de la tangente a la superficie en cualquier punto dado en los planos x, y, z. Podemos usar estas tangentes para hallar la normal a la superficie en cada punto. Esta información nos permite calcular la longitud de arco y las áreas, si la superficie es curva.
Ejemplos Prácticos:
Ejemplo 1: Superficie esférica
Una superficie esférica puede obtenerse mediante la función paramétrica siguiente:
f (t, s) = (R * sin(t) * cos(s), R * sin(t) * sin(s), R * cos(t))
Aquí, R es el radio de la esfera y t y s son los parámetros.
Las derivadas parciales de esta función paramétrica se pueden calcular de la siguiente manera:
∂ / ∂t = R * cos(t) * cos(s),
∂ / ∂s = -R * sin(t) * sin(s)
Usando estas derivadas, podemos calcular la normal a la superficie como sigue:
N (t, s) = (-R * cos(t) * cos(s), -R * cos(t) * sin(s), R * sin(t))
La longitud de arco de la superficie esférica se calcula multiplicando el radio de la esfera por el ángulo de recorrido de t y s.
Ejemplo 2: Superficie Paramétrica cilíndrica
Una superficie cilíndrica se puede representar con la siguiente función paramétrica:
f (t, s) = (R * cos(t), R * sin(t), s)
Aquí, R es el radio del cilindro y t y s son los parámetros.
Sus derivadas respecto a los parámetros son:
∂ / ∂t = -R * sin(t), ∂ / ∂s = 0
Y la normal a la superficie se obtiene como sigue:
N (t, s) = (-R * sin(t), R * cos(t), 0)
La longitud de arco de un cilindro se calcula multiplicando el radio por el ángulo de recorrido de t.
Ejemplo 3: Superficie paramétrica de helicoide
Un helicoide se puede definir con la siguiente función paramétrica:
f (t, s) = (R * cos (t) * s, R * sin(t) * s, A * t)
Aquí, R es el radio de la espiral, a es la amplitud de la espiral y t y s son los parámetros.
Las derivadas parciales de esta función paramétrica son:
∂ / ∂t = A, ∂ / ∂s = R * cos(t)
Y la normal a la superficie se obtiene como sigue:
N (t, s) = (A * s, 0, -R * cos(t) * s)
La longitud de arco de un helicoide se calcula multiplicando la amplitud de la espiral (A) por el ángulo de recorrido de t.
Conclusion:
En esta clase hemos aprendido acerca de surfacias parametricas, una importante herramienta de matemáticas. Hemos explorado una definición general y luego profundizamos con 3 ejemplos prácticos completos para entender mejor el concepto. Estos ejemplos presentaron la función paramétrica, sus derivadas parciales y la normal a la superficie.