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Clase educativa sobre Transformaciones Geométricas de Matemáticas
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Introducción a las Transformaciones Geométricas
Las transformaciones geométricas son cambios en los objetos geométricos que no cambian su área, longitud o volumen. Estos incluyen transformaciones tales como traslaciones, reflejos, rotaciones y escalado. Las transformaciones nos permiten comprender mejor la geometría y cómo se relacionan los objetos entre sí.
Rotación
Una rotación es una transformación en la que un objeto se gira a su alrededor. Las rotaciones se definen usando un punto de rotación, un ángulo y un sentido de rotación. Las transformaciones de rotación son cíclicas, lo que significa que se puede regresar al punto de partida si se gira la misma cantidad de ángulos en la misma dirección.
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Ejemplo #1: Sea P un punto en el plano, y se gira alrededor de la coordenada (0,0) en un ángulo de 60°\\ en sentido contrario a las manecillas del reloj. La nueva posición de P es (3,2).
Utilizando la fórmula de la rotación se puede determinar la nueva posición de P:
[math]\begin{aligned} (x’,y’) & = (x,y) \cdot \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \\ & = (3,2) \cdot \begin{bmatrix} \cos 60° & -\sin 60° \\ \sin 60° & \cos 60° \end{bmatrix} \\ & = (3,2) \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ & = \left( \frac{3\sqrt{3}-2}{2},\frac{3+2\sqrt{3}}{2} \right) \\ & = (3,2) \end{aligned}[/math]
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Ejemplo #2: Sea P un punto en el plano con coordenadas (1,3). Si P se gira alrededor del punto (2,2) en un ángulo de 90 ° en sentido contrario a las manecillas del reloj. La nueva posición de P es (3,1).
Utilizando la fórmula de la rotación se puede determinar la nueva posición de P:
[math]\begin{aligned} (x’,y’) & = (x-x_0,y-y_0) \cdot \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} + (x_0, y_0) \\ & = (1-2,3-2) \cdot \begin{bmatrix} \cos 90° & -\sin 90° \\ \sin 90° & \cos 90° \end{bmatrix} + (2,2) \\ & = (-1,1) \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + (2,2) \\ & = (-1 + 2, 1 + 2) \\ & = (1,3) \end{aligned}[/math]
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Ejemplo #3: Sea P un punto en el plano con coordenadas (0,3). Si P se gira alrededor del eje x, a un ángulo de -210°. La nueva posición de P es (3,-3).
Utilizando la fórmula de rotación, se puede determinar la nueva posición de P:
[math]\begin{aligned} (x’,y’) & = (x,y) \cdot \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \\ & = (0,3) \cdot \begin{bmatrix} \cos(-210°) & -\sin(-210°) \\ \sin(-210°) & \cos(-210°) \end{bmatrix} \\ & = (0,3) \cdot \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \\ & = \left( \frac{-3-3\sqrt{3}}{2},\frac{-3+3\sqrt{3}}{2} \right) \\ & = (3,-3) \end{aligned}[/math]
Conclusión
Nuestra clase ha cubierto la teoría básica y práctica de las transformaciones geométricas, incluidas las rotaciones. Hemos visto ejemplos prácticos de cómo aplicar la fórmula de la transformación de rotación para determinar la nueva posición de los objetos geométricos.
Hemos cubierto solo una de las transformaciones geométricas principales, sin embargo, hay muchas otras para explorar, incluyendo traslaciones, reflejos y escalado.