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Clase Educativa sobre Derivadas y Tangentes de Matemáticas
Introducción a las Derivadas y Tangentes:
Las derivadas y tangentes son partes importantes de los cálculos matemáticos que se usan para estudiar la pendiente de una curva y la tasa en la que el valor de una función varía con respecto a los cambios a su variable independiente. Estos términos se usan en la identificación y el análisis de variables matemáticas, permitiendo comprender los límites de cambio de cualquier función con un vector o un conjunto de datos, así como para describir la dirección en la que cambian los cambios de un objeto o un proceso.
Derivadas:
Una derivada es una medida de la variación al variar el valor de una función en función a la variación de su variable independiente. Esto se hace encontrando la tasa de cambio de una función en un punto determinado. Esto se hace calculando la pendiente de la línea que une dos puntos en una gráfica. La pendiente es la misma para todos los puntos sobre una recta, por lo tanto podemos calcular los cambios en la función para cualquier punto usando la misma tasa de cambio. Para encontrar la tasa de cambio para un paso determinado, la derivada de la función se calcula como:
Donde «f» representa la función, x representa la variable independiente y h representa el límite.
Ejemplo 1:
Calcule la derivada de la función x^2 cuando x = 4.
Solución:
Sabemos que la función para x^2 es f(x) = x^2. Primero determinamos el límite usando el esquema anterior, el cual es:
Entonces, la derivada de nuestra función cuando x = 4 es:
Por lo tanto, la derivada de x^2 cuando x = 4 es 8.
Ejemplo 2:
Calcule la derivada de la función:
f(x) = 2x + 5.
Solución:
Sabemos que la función para x^2 es f(x) = 2x + 5. Primero determinamos el límite usando el esquema anterior, el cual es:
Entonces, la derivada de nuestra función cuando x = 4 es:
Por lo tanto, la derivada de 2x + 5 cuando x = 4 es 2.
Tangentes:
Una tangente, también conocida como recta tangente, es una línea que se encuentra en un punto de la curva para contestar, comunmente, a cuestiones referentes a la consistencia y los cambios en la pendiente para una función en un punto en concreto. La tangente se refiere a la línea recta que representa la variación de una función en un punto en concreto. La línea tangente siempre pasa por el punto de la curva donde se encuentra la derivada, por lo que se conoce como la línea recta tangente a la curva en un punto dado. La pendiente de la línea tangente es igual a la derivada de la función en ese punto. Así, para calcular la línea tangente se usa la siguiente fórmula:
Donde “f x” representa la derivada de la función x. Esta fórmula nos da la ecuación de la línea tangente para ese punto en la función.
Ejemplo 3:
Calcule la línea tangente para la función f(x) = x^2 + 7x cuando x = 3.
Solución:
Primero, calculamos la derivada de la función f(x) = x^2 + 7x usando la misma fórmula que antes:
Entonces, la derivada para x = 3 es:
Utilizando la fórmula anterior para encontrar la línea tangente para x = 3, obtenemos:
Por lo tanto, la línea tangente para la función f(x) = x^2 + 7x cuando x = 3 es y = 10x + 3.