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Ecuaciones Diferenciales: Teoría y Ejemplos
Las ecuaciones diferenciales son un aspecto fundamental de la matemática moderna. Se usan para estudiar una amplia variedad de problemas en física, química, biología, ingeniería y economía, entre muchas otras. Aquí cubriremos la teoría y los conceptos básicos de ecuaciones diferenciales, así como tres ejemplos comunes para ayudarlo a comprender mejor.
Miembros de una Ecuación Diferencial
Una ecuación diferencial contiene dos miembros: la Función Dependiente y la Función Independiente. La función dependiente (también conocida como la variable dependiente) es aquella que está relacionada con una incógnita y cuyo valor depende de la otra función. La función independiente (también llamada variable independiente) es aquella que no cambia en relación a la dependiente.
Por ejemplo, una ecuación de primer orden para el movimiento de un cuerpo masivo puede escribirse así: $$\frac{dv}{dt} = kv(t) + F$$
En esta ecuación, $v(t)$ (velocidad) es la función dependiente y $t$ (tiempo) es la función independiente.
Ejemplo 1: Ecuación Lineal de Primer Orden
Por ejemplo, consideremos el problema de encontrar la función $y$ tal que
$$ \frac{dy}{dx} + 2y = 8e^{-3x}$$
con
$$y(0) = 3$$
La solución a esta ecuación es una función $y = y(x)$ que se puede hallar a partir de la siguiente integración:
$$\begin{align*}
\int \frac{dy}{dx} dx + 2\int y dx &= \int 8e^{-3x}dx & \text{usando la ecuación} \\
y + 2\int y dx &= 4e^{-3x} + C_1 & \text{resolviendo la primera integral} \\
y + 2\int y dx + C_2 &= 4e^{-3x} + C_1 & \text{agregando $C_2$ en los dos lados} \\
y + 2y + C_2 &= 4e^{-3x} + C_1 & \text{resolviendo la segunda integral} \\
3y + C_2 &= 4e^{-3x} + C_1 & \text{usando la condición inicial} \\
3y &= 4e^{-3x} + C_1 – C_2 & \text{resolviendo para $y$} \\
y &= \frac{4e^{-3x} + C_1 – C_2}{3} &
\end{align*}
$$
Una vez determinado $y$, la solución final será
$$y(x) = \frac{4e^{-3x} + C_1 – C_2}{3}$$
Donde $C_1$ y $C_2$ son constantes arbitrarias. El valor de $y$ en el punto inicial será $y(0) = 3$, así que
$$3 = \frac{4e^{-0} + C_1 – C_2}{3} \implies C_1 = 6 \; \text{y} \; C_2 = 0$$
Con lo cual, la solución para la ecuación diferencial es
$$y(x) = \frac{4e^{-3x} + 6}{3}$$
Ejemplo 2: Ecuación Lineal de Segundo Orden
Ahora consideremos otro ejemplo, una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. El problema es encontrar la función $y$ tal que
$$y» – 4y’ + 3y = 0$$
con
$$y(0) = 2 \; \text{y} \; y'(0) = 3$$
Una solución a esta ecuación diferencial es una función $y = y(x)$ que se puede encontrar integrando dos veces la siguiente ecuación diferencial:
$$y» – 4y’ + 3y = 0$$
De forma que el primer paso es reescribir la ecuación de la siguiente manera:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} – 4\frac{dy}{dx} + 3y = 0 $$
Ahora el siguiente paso será usar la regla de integración conocida como «integración por partes», para encontrar una función $y$ tal que
$$\begin{align*}
\int_0^x (\frac{d^2y}{dx^2} – 4\frac{dy}{dx} + 3y) dx &= 0 \\
\int_0^x \frac{d^2y}{dx^2} dx – \int_0^x 4\frac{dy}{dx} dx + \int_0^x 3y dx &= 0 \\
{\Big [}\frac{dy}{dx}y -4\int y dx + 3\int y dx{\Big ]}_0^x &= 0 \\
\frac{dy}{dx}y(x) – \frac{dy}{dx}y(0) -4\int_0^x y(x) dx + 3\int_0^x y(x) dx &= 0 \\
\frac{dy}{dx}y(x) – \frac{dy}{dx}y(0) -4(y(x) -y(0)) + 3(y(x) -y(0)) &= 0 \\
y(x) = \frac{2}{3}y'(0) + \frac{1}{3}y(0)e^{4x} &
\end{align*}
$$
Usando las condiciones iniciales $y(0) = 2$ y $y'(0) = 3$, obtenemos
$$ y(x) = 3 + 2e^{4x}$$
Así, la solución final para esta ecuación diferencial será
$$ y(x) = 3 + 2e^{4x}$$
Ejemplo 3: Ecuación No Lineal de Primer Orden
Finalmente, consideraremos un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal de primer orden. El problema es encontrar la función $y$ tal que
$$ \frac{dy}{dx} = x^3 – 2xy + 4$$
con
$$y(0) = 3$$
El siguiente paso es separar las variables para obtener
$$ \int \frac{dy}{y-\frac{1}{2}x^2+2} = \int x^3 – 4 dx $$
E integrando los dos lados obtenemos
$$ \ln|y – \frac{1}{2}x^2 +2| = \frac{1}{4}x^4 – 4x +C $$
De donde
$$ y(x) = \frac{1}{2}x^2 – 2 + Ce^{ \frac{1}{4}x^4 – 4x }$$
Utilizando la condición inicial $y(0) = 3$, obtenemos
$$ 3 = \frac{1}{2}(0)^2 – 2 + C \implies C = 5$$
En conclusión, la solución para esta ecuación diferencial es
$$ y(x) = \frac{1}{2}x^2 – 2 + 5e^{ \frac{1}{4}x^4 – 4x } $$
Conclusión
Las ecuaciones diferenciales son un tema fundamental en matemáticas modernas. En este artículo hemos cubierto la teoría básica y tres ejemplos comunes para comprender mejor. Esperamos que esto ayude a mejorar su comprensión de la teoría y los conceptos de ecuaciones diferenciales.