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Propiedades de los Límites de Matemática
Los límites son uno de los conceptos más importantes de la matemática moderna, ya que sin ellos muchas funciones no serían entendibles. En este tutorial, explicaremos varias propiedades de los límites y veremos algunos ejemplos prácticos para demostrarlos.
Propiedad 1: Suma, Resta y Multiplicación de Límites
Esta propiedad establece que si dos límites tienen un valor finito, entonces su suma, su resta y su multiplicación también tienen un valor finito. Esto puede expresarse como:
- f(x) + g(x) → Limx→a [f(x) + g(x)] = Limx→a f(x) + Limx→a g(x)
- f(x) – g(x) → Limx→a [f(x) – g(x)] = Limx→a f(x) – Limx→a g(x)
- f(x) * g(x) → Limx→a [f(x) * g(x)] = Limx→a f(x) * Limx→a g(x)
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1:
Calcule el límite de la función f(x) = x2 – 3x + 2, cuando x tiende a 5.
Usando la operación de límites descrita anteriormente, sabemos que:
- Limx→5 [x2 – 3x + 2] = Limx→5 x2 – Limx→5 3x + Limx→5 2
- = 25 – 15 + 2 = 12
Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 5 es igual a 12.
Ejemplo 2:
Calcule el límite de la función f(x) = (x2 – 4x) / (x + 1), cuando x tiende a 2.
Usando la operación de límites descrita anteriormente, sabemos que:
- Limx→2 [f(x)] = Limx→2 [(x2 – 4x) / (x + 1)] = Limx→2 (x2/x + 1) – Limx→2 (4x/x + 1) = Limx→2 x – Limx→2 4 = 2 – 4 = -2
Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es igual a -2.
Ejemplo 3:
Calcule el límite de la función f(x) = 3x2 – x + 4, cuando x tiende a 0.
Usando la operación de límites descrita anteriormente, sabemos que:
- Limx→0 [f(x)] = Limx→0 [3x2 – x + 4] = Limx→0 (3x2) – Limx→0 (x) + Limx→0 4 = 0 – 0 + 4 = 4
Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 0 es igual a 4.