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Definición de la Continuidad en un Intervalo de Matemáticas
La continuidad en un intervalo es uno de los principales conceptos matemáticos a comprender. Esta es la propiedad que permite a una función fluir sin interrupciones entre un punto inicial y un punto final establecidos en un rango de valores. Esto se logra logrando que, al diferenciar la función dentro de este intervalo, el resultado se acerque cada vez más a cero, es decir, que sea lo suficientemente pequeño como para considerarse nulo. El formalismo matemático expresa la continuidad en un intervalo con la terminología:
“Si f(x) está definida en un intervalo [a,b] entonces f(x) es continua en el intervalo [a,b] si, para todo x perteneciente a (a,b), f(x) es continua en el intervalo a,b.”
Tres ejemplos prácticos:
Ejemplo 1:
Supongamos que una función individual f(x) tiene la siguiente forma:
f(x) = x2 + 2x + 3
Ahora, creamos el intervalo [0,3], y pruebe si f(x) es continua en el intervalo [0,3].
Primero, utilizamos la definición formal de continuidad para verificar si f(x) es continua en el intervalo [0,3], lo cual se expresa como:
f(x) está definida para todo x en [0,3], y f(x) es continua en el intervalo [0,3].
Como la función f(x) es una función diferenciable, entonces f(x) es continua en el intervalo [0,3].
Ahora, para comprobar esto, vamos a calcular la derivada de la función f(x).
La derivada de f(x) es:
f'(x) = 2x + 2.
Ahora, al aplicar la derivada en el intervalo [0,3], obtenemos los valores:
f'(0) = 2 · 0 + 2 = 2
y
f'(3) = 2 · 3 + 2 = 8
Esto significa que la función f(x) cambia monótonamente dentro del intervalo [0,3], lo cual implica que f(x) es continua en [0,3].
Ejemplo 2:
Consideremos ahora la función
f(x) = x3 + 3x + 5
Creamos el intervalo [2,4], y vamos a verificar si f(x) es continua en el intervalo [2,4].
Primero, verifiquemos si f(x) es continua en el intervalo [2,4] utilizando la definición formal de continuidad, lo cual se expresa como:
f(x) está definida para todo x en [2,4], y f(x) es continua en el intervalo [2,4].
Como la función f(x) es una función diferenciable, entonces f(x) es continua en el intervalo [2,4].
Ahora, para comprobar esto, vamos a calcular la derivada de la función f(x).
La derivada de f(x) es:
f'(x) = 3x2 + 3
Ahora, al aplicar la derivada en el intervalo [2,4], obtenemos los valores:
f'(2) = 3 · 22 + 3 = 15
y
f'(4) = 3 · 42 + 3 = 51
Esto significa que la función f(x) cambia monótonamente dentro del intervalo [2,4], lo cual implica que f(x) es continua en [2,4].
Ejemplo 3:
Ahora, consideremos la función
f(x) = x4 + 4x2 + 5
Creamos el intervalo [1,4], y vamos a verificar si f(x) es continua en el intervalo [1,4].
Primero, verifiquemos si f(x) es continua en el intervalo [1,4] utilizando la definición formal de continuidad, lo cual se expresa como:
f(x) está definida para todo x en [1,4], y f(x) es continua en el intervalo [1,4].
Como la función f(x) es una función diferenciable, entonces f(x) es continua en el intervalo [1,4].
Ahora, para comprobar esto, vamos a calcular la derivada de la función f(x).
La derivada de f(x) es:
f'(x) = 4x3 + 8x
Ahora, al aplicar la derivada en el intervalo [1,4], obtenemos los valores:
f'(1) = 4 · 13 + 8 · 1 = 12
y
f'(4) = 4 · 43 + 8 · 4 = 284
Esto significa que la función f(x) cambia monótonamente dentro del intervalo [1,4], lo cual implica que f(x) es continua en el intervalo [1,4].