Desarrollo de la fórmula general para una ecuación cuadrática

Introducción

La ecuación cuadrática es una ecuación con grado dos en la forma ax² + bx + c = 0. En esta clase exploraremos la forma general para resolver esta ecuación, así como explicaremos los fundamentos detrás de su desarrollo.

Teoría Explicada

Unir los puntos A (a, b, c) y C (x², x, 1) de una ecuación cuadrática, como se muestra a continuación, nos da la respuesta a la ecuación cuadrática:

El producto de los dos punteros de la lengüeta de la ecuación cuadrática debe ser igual al producto de los dos puntos extremos de la parábola, como se muestra a continuación:

A (a, b, c) x C (x², x, 1) = D (1, -b/a, c/a)

De esto se deduce la siguiente ecuación (sustituyendo los valores A y C en la ecuación anterior):

a x² + bx + c = a (x² + b c/a x + c/a)

De esta ecuación, se deriva la Fórmula General para una ecuación cuadrática de la siguiente manera:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Ejemplos Prácticos Resueltos con Fórmulas

Ejemplo 1: Ecuación cuadrática 3x² – 2x – 7 = 0

Sustituyendo los valores de los coeficientes en la Fórmula General, se obtiene:

x = (-(-2) ± √((-2)² – 4 (3)(-7))) / 2(3)

x = (2 ± √((4) – (-84))) / 6

x = (2 ± √88) / 6

x = (2 ± √2 x √44) / 6

x = (2 ± 2√11) / 6

Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son x = (2 + 2√11) / 6 y x = (2 – 2√11) / 6.

Ejemplo 2: Ecuación cuadrática 2x² + 5x + 3 = 0

Sustituyendo los valores de los coeficientes en la Fórmula General, se obtiene:

x = (-5 ± √((5)² – 4 (2)(3))) / 2(2)

x = (-5 ± √((25) – (24))) / 4

x = (-5 ± √1) / 4

Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son x = (-5 + 1) / 4 y x = (-5 – 1) / 4.

Ejemplo 3: Ecuación cuadrática x² + 6x + 3 = 0

Sustituyendo los valores de los coeficientes en la Fórmula General, se obtiene:

x = (-6 ± √((6)² – 4 (1)(3))) / 2(1)

x = (-6 ± √((36) – (12))) / 2

x = (-6 ± √24) / 2

Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son x = (-6 + √24) / 2 y x = (-6 – √24) / 2.