Discriminante de la ecuación cuadrática

En esta clase se explicará el concepto de discriminante de la ecuación cuadrática, su fórmula, sus características y su aplicación. Además, se proporcionarán 3 ejemplos prácticos con fórmulas resueltas para un mejor entendimiento de la misma.

Teoría

El discriminante de una ecuación cuadrática es una cantidad matemática que se calcula a partir de los coeficientes de tal ecuación. Esta se representa con la letra griega delta (Δ). Su fórmula es la siguiente:

Δ = b² – 4ac

Los coeficientes necesarios para calcular el discriminante son:

• a: Coeficiente del término cuadrático de la ecuación (ax²).
• b: Coeficiente del término lineal (bx).
• c: Término independiente (c).

El valor del discriminante define el número de soluciones que presenta la ecuación, de la siguiente manera:

• Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones.
• Si Δ = 0, la ecuación tiene una solución.
• Si Δ > 0, laecuación tiene dos soluciones.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 2x² – 7x + 3 = 0

Los coeficientes de esta ecuación son:

• a = 2
• b = -7
• c = +3

Por lo tanto, el valor del discriminante será:

Δ = b² – 4ac
Δ = (-7)² – 4*2*3
Δ = 49 – 24
Δ = 25

Como el discriminante es positivo (Δ>0), esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones.

Para hallar los valores de las soluciones se usa la siguiente fórmula:

x = (-b±√Δ) / 2a

Reemplazando los valores en la fórmula:

x = (-(-7)±√25) / 2*2

x = (7±5) / 4

Ahora se deben calcular los valores del signo + y del signo -:

x = 7+5 / 4
x = 12/4
x = 3
x = 7-5/4
x = 2/4
x = 1/2

Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:
x=3 y x=1/2

Ejemplo 2

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: x² – 4x + 1 = 0

Los coeficientes de esta ecuación son:

• a = 1
• b = -4
• c = +1

Por lo tanto, el valor del discriminante será:

Δ = b² – 4ac
Δ = (-4)² – 4*1*1
Δ = 16 – 4
Δ = 12

Como el discriminante es positivo (Δ>0), esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones.

Para hallar los valores de las soluciones se usa la siguiente fórmula:

x = (-b±√Δ) / 2a

Reemplazando los valores en la fórmula:

x = (-(-4)±√12) / 2*1

x = (4±√12) / 2

Ahora se deben calcular los valores del signo + y del signo -:

x = 4+√12 / 2
x = (4+2*√3) / 2
x = (8+√3) / 2
x = (8+1√3) / 2
x = (4+√12) / 2
x = (4+2*√3) / 2
x = (4-√3) / 2
x = (4-1√3) / 2

Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:
x=(8+√3)/2 y x=(4-√3)/2

Ejemplo 3

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 3x² + 3 = 0

Los coeficientes de esta ecuación son:

• a = 3
• b = 0
• c = +3

Por lo tanto, el valor del discriminante será:

Δ = b² – 4ac
Δ = 0² – 4*3*3
Δ = 0 – 36
Δ = -36

Como el discriminante es negativo (Δ<0), esta ecuación cuadrática no tiene soluciones.

Debido a eso, esta ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.