Ánalisis De Datos

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Análisis de Datos de Matemáticas

Este curso cubrirá las fundamentales técnicas de análisis de datos para matemáticas. Se abordará la teoría necesaria para comprender los conceptos y se proporcionarán ejemplos prácticos para aplicar dichas técnicas. Las principales temáticas a tratar son matrices, muchas variables, expresiones algebraicas y álgebra lineal.

TEMA 1: Introducción al Análisis de Datos de Matemáticas

1. Conceptos básicos sobre análisis de datos: qué estadísticas son y cómo afectan a matemáticas.
2. Herramientas y recursos: software para el análisis de datos, libros, cursos y mucho más.
3. Cómo seleccionar los datos perfectos para tu análisis.

TEMA 2: Matrices y Muchas Variables

1. Definición de matrices y cómo afectan al análisis de datos.
2. Cómo importar y manipular datos en formato matriz.
3. Ejemplos de análisis de datos con muchas variables.

TEMA 3: Expresiones Algebraicas y Álgebra Lineal

1. Cómo usar expresiones algebraicas para el análisis de datos.
2. Introducción a álgebra lineal y cómo relaciona con análisis de datos.
3. Ejemplos de análisis de datos con álgebra lineal.

Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Un problema de análisis de datos se plantea como encontrar la linea recta que mejor aproxime los datos dados. La linea recta se puede expresar con la ecuación y = mx + c. En este ejemplo usaremos la minimización de errores cuadráticos para encontrar el valor de los parámetros m y c.

Paso #1: Escribimos la función que determina el error cuadrático para un par de valores m y c dados, la cual será usada para encontrar la linea recta que mejor se ajuste a nuestros datos. Esta función tendrá la siguiente forma:

$E(m,c) = \frac{1}{2N}\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-mx_i-c)^2$

Donde

• $E(m,c)$ es la función para el error cuadrático.
• $N$ es el número de datos.
• $y_{i}$ son los resultados de los datos.
• $x_i$ son los valores de entrada de los datos.
• $m$ y $c$ son los parámetros de la linea recta.

Paso #2: Aplicamos el teorema de Gauss-Newton para calcular los valores de m y c que minimizan el error cuadrático. El teorema nos dice que los parámetros m y c se obtienen como:

$\left[ \begin{array}{c}
m \\
c
\end{array} \right] = (X^T X)^{-1} X^T Y
$

Donde:

• $X$ es la matriz de entrada de los datos tal que $X_{ij} = x_i^j$.
• $Y$ es la matriz de resultados tal que $Y_i = y_i$.

Paso #3: Usamos el resultado del paso 2 para obtener los valores de m y c.

$\left[ \begin{array}{c}
m \\
c
\end{array} \right] = (X^T X)^{-1} X^T Y
= \begin{pmatrix}
1.311 & 1.288\\
1.288 & 14.931
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
6.3\\
-3.6\\
-1.2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2.217\\
2.270
\end{pmatrix}
$

Luego, la linea recta que mejor se ajusta a nuestros datos tiene la siguiente forma:

$y = 2.217 x + 2.270$

Ejemplo 2: Un problema de análisis de datos se plantea como encontrar la parábola que mejor aproxime los datos dados. La parábola se puede expresar con la ecuación y = ax^2 + bx + c. Usaremos el método de mínimos cuadrados para encontrar los valores de los parámetros a, b y c.

Paso #1: Escribimos la función que determina el error cuadrático para un par de valores a, b y c dados, la cual será usada para encontrar la parábola que mejor se ajuste a nuestros datos. Esta función tendrá la siguiente forma:

$E(a,b,c) = \frac{1}{2N}\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-ax_i^2-bx_i-c)^2$

Donde

• $E(a,b,c)$ es la función para el error cuadrático.
• $N$ es el número de datos.
• $y_{i}$ son los resultados de los datos.
• $x_i$ son los valores de entrada de los datos.
• $a$, $b$ y $c$ son los parámetros de la parábola.

Paso #2: Aplicamos el teorema de Gauss-Newton para calcular los valores de a, b y c que minimizan el error cuadrático. El teorema nos dice que los parámetros se obtienen como:

$\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
\end{array} \right] = (X^T X)^{-1} X^T Y
$

Donde:

• $X$ es la matriz de entrada de los datos tal que $X_{ij} = x_i^j$.
• $Y$ es la matriz de resultados tal que $Y_i = y_i$.

Paso #3: Usamos el resultado del paso 2 para obtener los valores de a, b y c.

$\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c
\end{array} \right] = (X^T X)^{-1} X^T Y
= \begin{pmatrix}
2.082 & -2.712 & 0.873\\
-2.712 & 16.545 & -3.842\\
0.873 & -3.842 & 0.835
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
6.3\\
-3.6\\
-1.2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0.911\\
2.009\\
7.136
\end{pmatrix}
$

Luego, la parábola que mejor se ajusta a nuestros datos tiene la siguiente forma:

$y = 0.911 x^2 + 2.009 x + 7.136$

Ejemplo 3: Un problema de análisis de datos se plantea com