Introducción a la probabilidad de matemáticas
La probabilidad es una parte crucial de la matemática que abarca todo desde encontrar las probabilidades de eventos aleatorios hasta la estimación de los parámetros de distribuciones. Esta clase se asegurará de introducirte a la terminología y los conceptos básicos de la probabilidad matemática.
Definiciones y nociones básicas de probabilidad
La probabilidad de un evento aleatorio se define, usualmente, como un número entre 0 y 1. Este número refleja el nivel de confianza asociado con el evento. Por ejemplo si una moneda es lanzada al aire, la probabilidad de obtener una cara es 0.5. Esto significa que hay un 50% de posibilidades de obtener una cara.
Las distribuciones de probabilidad se utilizan para modelar los resultados de eventos aleatorios. Existen varios tipos diferentes de distribuciones, incluyendo la distribución normal, la distribución binomial y la distribución poisson. Dado un conjunto de datos, una distribución de probabilidad puede ser utilizada para determinar y estimar la probabilidad de que ciertos resultados se produzcan.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Distribución uniforme
Considere un cuadrado de lado 10 cm. En cada lado del cuadrado, hay un número impreso de 1 a 10. Si una persona elige un punto al azar dentro del cuadrado, cuál es la probabilidad de que ese punto tenga el número 6 impreso en el lado del cuadrado?
La respuesta es 0.1, ya que hay un 10% de probabilidad de que el número impreso sea 6. Esta es una distribución uniforme, ya que la probabilidad de cualquier resultado es la misma.
Ejemplo 2: Distribución Binomial
Considere una moneda balanceada que se tira 10 veces. Cuál es la probabilidad de que salga cara 5 veces?
Esta es una distribución binomial, ya que el resultado depende de un número fijo de ensayos (10) y cada ensayo puede tener sólo dos resultados posibles (cara/aguda). La fórmula para encontrar la probabilidad de que esto suceda es la siguiente:
$P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot (0.5)^{5}\cdot(0.5)^{5} = 0.246$
De esta manera, la probabilidad de que salga cara 5 veces es de 0.246, o aproximadamente un 24.6%.
Ejemplo 3: Distribución Poisson
Suponga que se espera que el número de accidentes de tráfico por día en una ciudad sea de 3. Cuál es la probabilidad de que haya 5 accidentes de tráfico el próximo día?
Esta es una distribución Poisson, ya que el resultado del próximo día depende de una distribución de riesgo acumulado. La fórmula para encontrar la probabilidad de que esto suceda es la siguiente:
$P(X = 5) = \frac{e^{-3}\cdot3^{5}}{5!} = 0.140$
De esta manera, la probabilidad de que haya 5 accidentes de tráfico mañana es de 0.140, o aproximadamente un 14%.