Análisis Vectorial de Funciones
Introducción al Análisis Vectorial de Funciones
El Análisis Vectorial de Funciones se refiere al estudio de funciones vectoriales, que son aquellas funciones cuyas entradas y salidas son vectores. La relación entre los vectores de entrada y de salida puede ser estudiada mediante el análisis diferencial de funciones, de forma tal que se pueda obtener información de los cambios que se producen en los vectores de entrada con respecto a los cambios en los vectores de salida. Esto consiste en aplicar diferentes técnicas como el Análisis Del Operador Jacobiano, el Método de Taylor y el Análisis de Flechas de deslizamiento, entre otras.
Ejemplo Práctico #1: La Jacobiada
Supongamos que tenemos una función vectorial definida como: f(x, y, z) = (x2 + y2, 3x + z2, 2y + z), donde x, y y z son los vectores de entrada. Para obtener información sobre la relación entre los vectores de entrada y de salida, primero obtendremos la Jacobiada de la función, que es el operador que relaciona un cambio en los vectores de entrada con el cambio que se produce en los vectores de salida. El operador Jacobiano de esta función es:
La interpretación de la matriz es la siguiente: si el vector (x, y, z) cambia en una cantidad dΔx, dΔy, dΔz, entonces el vector (f1, f2, f3) cambia en una cantidad (2xdΔx + 2ydΔy, 3dΔx + 2zdΔz, 2dΔy + dΔz).De esta forma podemos obtener información de la derivada en un punto dado de la función vectorial.
Ejemplo Práctico #2: El Método de Taylor
Supongamos que tenemos una función vectorial definida como: f(x, y, z) = (x2 + y2, 3x + z2, 2y + z), donde x, y y z son los vectores de entrada. El Método de Taylor es una técnica que consiste en aproximar la función vectorial a una línea aproximada usando los términos del desarrollo de Taylor a partir del punto que queremos estudiar. Para obtener una mejor aproximación, es necesario usar términos más altos del desarrollo de Taylor.
Usando los primeros tres términos del desarrollo de Taylor (hasta cuarto orden incluido), tenemos que la ecuación para la aproximación es: f(t) = f(a) + Df(a)⋅(t – a) + 1/2⋅D2(b)⋅(t – a)2 + 1/6⋅D3(c)⋅(t – a)3,
donde (a, b, c) son los puntos utilizados para el desarrollo de Taylor. Usando esta aproximación, obtenemos que la línea aproximada es: f(t) = (t2, 3t, 2t).
Ejemplo Práctico #3: El Análisis de las Flechas de deslizamiento
Cuando se estudia el comportamiento de una función vectorial, es útil tenemos una representación gráfica de la función. El Análisis de las Flechas de deslizamiento es una técnica que consiste en representar gráficamente a una función vectorial usando gráficos de flechas. Usando esta técnica, se puede obtener una visión de la forma en la que los vectores de entrada se relacionan con los vectores de salida.
Supongamos que tenemos una función vectorial definida como: f(x, y, z) = (x2 + y2, 3x + z2, 2y + z), donde x, y y z son los vectores de entrada. Entonces podemos representar la función vectorial usando un gráfico de flechas, donde cada flecha representa el vector de salida dado un vector de entrada. El gráfico de flechas para esta función es mostrado a continuación:
Usando este gráfico, podemos ver cómo a medida que los vectores de entrada cambian, los vectores de salida cambian de manera correspondiente. Esta es una forma útil de visualizar cómo los vectores de entrada se relacionan con los vectores de salida.