Aplicaciones De La Diferenciacion E Integracion De Funciones de Matemáticas

Introducción

Esta clase se centrará en las aplicaciones de la diferenciación e integración de funciones de matemáticas. La diferenciación e integración son importantes técnicas matemáticas usadas para estudiar cómo cambian y cómo se comportan las funciones. Estas técnicas se usan para abordar muchos problemas físicos, como flujo de fluidos, movimiento, trabajo y cantidades de energía. Esta clase se enfocará en cómo se usan estas técnicas para abordar muchos problemas.

Teoría

La diferenciación se define como el proceso de obtener la derivada de una función dada. La derivada de una función cuantifica la pendiente o la tasa de cambio de la función en un punto. La integración se define como el proceso de encontrar el área bajo una curva, una cualidad que también está relacionada con la pendiente de la curva en un punto dado. Ambas estas técnicas se utilizan para resolver problemas en los que se necesita calcular la pendiente, el área, la energía y otros datos relacionados con una función en un punto dado.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Integración de una función lineal

Consideremos el ejemplo de una función lineal f(x) = 5x + 10. El área bajo esta función será el área entre 0 y x; es decir, la integral de la función será:

∫f(x)dx = ∫(5x + 10)dx = 5/2x² + 10x

Usando los límites 0 y x, el área bajo la función será:

∫₀^x(5x + 10)dx = 5/2x² + 10x² – 5/2x²₀ – 10x₀ = 5/2x² + 10x – 0 – 0 = 5/2x² + 10x

Ejemplo 2: Derivada de un polinomio

Ahora consideremos un ejemplo de la derivada de un polinomio. Consideremos el polinomio f(x) = 4x⁴ + 5x³ + 6x² + 3x + 2. Entonces la derivada de la función será:

f'(x) = 16x³ + 15x² + 12x + 3

Ejemplo 3: Integración de un polinomio

Finalmente, consideremos el ejemplo de una integral de un polinomio. Consideremos el polinomio f(x) = 4x⁴ + 5x³ + 6x² + 3x + 2. Entonces la integral de la función será:

∫f(x)dx = 4/5x⁵ + 5/4x⁴ + 3/3x³ + 3/2x² + 2x + c

Usando los límites 0 y x, el área bajo la función será:

∫₀^x(4x⁴ + 5x³ + 6x² + 3x + 2)dx = 4/5x⁵ + 5/4x⁴ + 3/3x³ + 3/2x² + 2x – 4/5x^{5₀ – 5/4x4₀ – 3/3x3₀ – 3/2x2₀ -2x₀ = 4/5x5 + 5/4x4 + 3/3x3 + 3/2x2 + 2x}