Cónicas

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Introducción a las Conicas

Las conicas son curvas en dos dimensiones definidas por una ecuación de segundo grado con una variable. Estas curvas se originan de una intersección entre un plano y un cono, y comúnmente incluyen elipses, parábolas y hipérbolas. La teoría de las conicas, también conocida como la Geometría de Conicas, es uno de los tópicos más importantes en matemáticas que se estudia en la educación superior.

Ecuaciones de los conicas

Una ecuación normal de una conica contiene 4 parámetros: a, b, c y d. Los 4 parámetros determinan el tipo de conica en función de la forma de la ecuación. Una ecuación de la forma siguiente se define como una ecuación de conicas:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Las administraciones y alineamientos varían de acuerdo al número de parámetros en una ecuación de conicas. Debemos tener en cuenta los siguientes tipos generales:

• Elipses
  Una elipse aparece para valores 0, 1, -1 para los parámetros a, b y c respectivamente. Todos los parámetros deben ser de un lado de la ecuación.
• Parábolas
  Una parábola es comúnmente definida como una curva en la cual todos los puntos son igualmente distantes de un punto fijo (conocido como el foco de la parábola) y una recta (conocida como el eje de la parábola). Aparece para valores 0, 0, 1 para los parámetros a, b y c respectivamente.
• Hipérbolas
  Una hipérbola consiste en dos ramas que se extienden desde un punto central. Las hipérbolas se definen por valores 1, 1, -1 para los parámetros a, b y c respectivamente.

Ejemplos Prácticos de Conicas

Ejemplo 1: Encuentre el centro, los ejes y los vértices de la elipse 6x² + 8xy + 3y² = 24. Los parámetros a, b, c se dan como 6, 8, 3 respectivamente:

Apartando factores, la ecuación se puede escribir como:

x² + 4xy + y² = 24/3.

Ahora, escribe la ecuación original en términos de x y y-centrados como sigue:

(x – 4)² + (y – 4)² = 24/3

Usando los parámetros a, b, c, se obtendrán los siguientes resultados:

• El centro está en (4, 4).
• Los ejes son: a = sqrt(24/3) = 4 y b = sqrt(24/3) = 4.
• Los vértices son (0, 4) y (8, 4).

Ejemplo 2: Encuentre el foco, el eje y los vértices de la parábola 4y² = 16x. Los parámetros a, b y c se dan como 0, 0 y 4 respectivamente.

Apartando factores, la ecuación se puede escribir como:

y² = 4x

Ahora, escribe la ecuación original en términos de x y y-centrados como sigue:

(y – 4)² = 4(x – 4)

Usando los parámetros a, b, c, se obtendrán los siguientes resultados:

• El foco está en (4, 0).
• El eje es x = 4.
• Los vértices son (4, 4) y (4, -4).

Ejemplo 3: Encuentre el centro, los ejes y los vértices de la hipérbola 8x² – 6xy + 3y² = 24. Los parámetros a, b, c se dan como 8, -6 y 3 respectivamente.

Apartando factores, la ecuación se puede escribir como:

(x + 3y)² = 144

Ahora, escribe la ecuación original en términos de x y y-centrados como sigue:

(x – 6)² – (y – 6)² = 144

Usando los parámetros a, b, c, se obtendrán los siguientes resultados:

• El centro está en (6, 4).
• Los ejes son: a = 12 y b = sqrt(144) = 12.
• Los vértices son (-6, 18) y (18, -6).