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Definición de la Continuidad en un Intervalo de Matemáticas

La continuidad en un intervalo es uno de los principales conceptos matemáticos a comprender. Esta es la propiedad que permite a una función fluir sin interrupciones entre un punto inicial y un punto final establecidos en un rango de valores. Esto se logra logrando que, al diferenciar la función dentro de este intervalo, el resultado se acerque cada vez más a cero, es decir, que sea lo suficientemente pequeño como para considerarse nulo. El formalismo matemático expresa la continuidad en un intervalo con la terminología:

“Si f(x) está definida en un intervalo [a,b] entonces f(x) es continua en el intervalo [a,b] si, para todo x perteneciente a (a,b), f(x) es continua en el intervalo a,b.”

Tres ejemplos prácticos:

Ejemplo 1:

Supongamos que una función individual f(x) tiene la siguiente forma:
f(x) = x² + 2x + 3
Ahora, creamos el intervalo [0,3], y pruebe si f(x) es continua en el intervalo [0,3].

Primero, utilizamos la definición formal de continuidad para verificar si f(x) es continua en el intervalo [0,3], lo cual se expresa como:
f(x) está definida para todo x en [0,3], y f(x) es continua en el intervalo [0,3].

Como la función f(x) es una función diferenciable, entonces f(x) es continua en el intervalo [0,3].
Ahora, para comprobar esto, vamos a calcular la derivada de la función f(x).

La derivada de f(x) es:
f'(x) = 2x + 2.

Ahora, al aplicar la derivada en el intervalo [0,3], obtenemos los valores:
f'(0) = 2 · 0 + 2 = 2
y
f'(3) = 2 · 3 + 2 = 8

Esto significa que la función f(x) cambia monótonamente dentro del intervalo [0,3], lo cual implica que f(x) es continua en [0,3].

Ejemplo 2:

Consideremos ahora la función
f(x) = x³ + 3x + 5
Creamos el intervalo [2,4], y vamos a verificar si f(x) es continua en el intervalo [2,4].

Primero, verifiquemos si f(x) es continua en el intervalo [2,4] utilizando la definición formal de continuidad, lo cual se expresa como:
f(x) está definida para todo x en [2,4], y f(x) es continua en el intervalo [2,4].

Como la función f(x) es una función diferenciable, entonces f(x) es continua en el intervalo [2,4].
Ahora, para comprobar esto, vamos a calcular la derivada de la función f(x).

La derivada de f(x) es:
f'(x) = 3x² + 3

Ahora, al aplicar la derivada en el intervalo [2,4], obtenemos los valores:
f'(2) = 3 · 2² + 3 = 15
y
f'(4) = 3 · 4² + 3 = 51

Esto significa que la función f(x) cambia monótonamente dentro del intervalo [2,4], lo cual implica que f(x) es continua en [2,4].

Ejemplo 3:

Ahora, consideremos la función
f(x) = x⁴ + 4x² + 5
Creamos el intervalo [1,4], y vamos a verificar si f(x) es continua en el intervalo [1,4].

Primero, verifiquemos si f(x) es continua en el intervalo [1,4] utilizando la definición formal de continuidad, lo cual se expresa como:
f(x) está definida para todo x en [1,4], y f(x) es continua en el intervalo [1,4].

Como la función f(x) es una función diferenciable, entonces f(x) es continua en el intervalo [1,4].
Ahora, para comprobar esto, vamos a calcular la derivada de la función f(x).

La derivada de f(x) es:
f'(x) = 4x³ + 8x

Ahora, al aplicar la derivada en el intervalo [1,4], obtenemos los valores:
f'(1) = 4 · 1³ + 8 · 1 = 12
y
f'(4) = 4 · 4³ + 8 · 4 = 284

Esto significa que la función f(x) cambia monótonamente dentro del intervalo [1,4], lo cual implica que f(x) es continua en el intervalo [1,4].