Introducción
Una curva paramétrica es una curva definida por ecuaciones de dos variables: x y y. A diferencia de una ecuación con una sola variable como y = f(x), las curvas paramétricas representan funciones con una relación entre los dos parámetros. Estas curvas aparecen de manera natural en un sin fin de problemas de campo de aplicaciones, como en ingeniería, física, economía, geometría, astrología, etc.
En esta clase, te mostraremos los fundamentos para entender cómo principios fundamentales de las Curvas Parametricas, con un enfoque en cómo aplicar la teoría para resolver problemas prácticos abstractos de matemáticas.
Teoría
Las curvas paramétricas se definen a partir de dos ecuaciones de dos variables, x y y. Estas ecuaciones se relacionan entre sí, definiendo así la curva paramétrica.
Las curvas paramétricas son un aplicación de la más general Teoría de Funciones, en la que se pueden usar conceptos y fórmulas como: límites, la derivada, integrales, líneas tangentes, integrales dobles, etc.
Las inecuaciones paramétricas también se pueden aplicar para encontrar áreas bajo las curvas de un gráfico. Se estudiarán los cálculos de áreas, límites, cambios de forma, líneas tangentes, curvas de intereses, comportamientos ópticos, etc. Estudiar estas temáticas ayudará a mejorar la comprensión del concepto de curvas paramétricas.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Considere una curva paramétrica dada por las ecuaciones:
x = 3t + 1
y = 1 – 2t2
Usando la definición de una curva paramétrica, se puede hallar el área bajo la curva para 0 ≤ t ≤ 1. para esto, se debe utilizar una integral doble.
Comencemos primero con la segunda integral. Para ello, se sustituye la ecuación para y en la integral doble:
A = ∫10∫1 – 2t2-3t – 4dt dx
Ahora, se despejan las variables y se integran:
A = ∫10 [x – (-3t – 4)]dt dx
= ∫10 [x + 3t + 4]dt dx
Y par integrar, usamos la sustitución univariable:
x = 3t + 1
dx = 3dt
Ahora, se puede reemplezar en la Ecuación y se integra:
A = ∫10 [3t + 1 + 3t + 4]* 3dt
= ∫10 [9t2 + 7t + 4]dt
= [3t3/3 + 7t2/2 + 4t]10
= [3/3 + 7/2 + 4] – [0 + 0 + 0]
= 9/2
Ejemplo 2: Considere una curva paramétrica dada por las ecuaciones:
x = 6t – 5t2
y = sin(t)
Encontrar la longitud de la curva para 0 ≤ t ≤ (2/3)π.
Usando la definición de una curva paramétrica, se puede hallar la longitud de la curva para 0 ≤ t ≤ (2/3)π. Para esto, usaremos la fórmula para la longitud de una curva.:
L = ∫(2/3)π0 [(dx/dt)2 + (dy/dt)2]1/2 dt
Ahora, reemplzamos las ecuaciones dadas para hallemos las derivadas parciales respecto a t:
dx/dt = 6 – 10t
dy/dt = cos(t)
Reemplzamos esto en la fórmula para hallar la longitud:
L = ∫(2/3)π0 [(6 – 10t)2 + (cos(t))2]1/2dt
Ahora, se hace la integración:
L = ∫(2/3)π0 [(36 – 120t + 100t2) + (cos2(t))]1/2dt
= ∫(2/3)π0 [(36 + 100t2) + (1 – sin2(t))]1/2dt
= ∫(2/3)π0 [(36 + 100t2 + 1 – sin2(t))]1/2dt
= ∫(2/3)π0 [(37 + 100t2 – cos2(t))]1/2dt
= ∫(2/3)π0 [(37 + 100t2 – (1 – sin2(t))]1/2dt
= ∫(2/3)π0 [(37 + 100t2 – 1 + sin2(t))]1/2dt
Y por último, para encontrar el límite se hace la integración:
L = [37t3/3 + 50t4/4 – t + (1/2)(sin2(t))(sin(t))](2/3)π0
= [(37/3)π3/3 + (50/4)π4/4 – (2/3)π + (1/2)((2/3)π – 0)]
= (37/3)π3/3 + (50/4)π4/4 – (4/3)π
≈ 20.76
Ejemplo 3: Considere una curva paramétrica dada por las ecuaciones:
x = cos2(t)
y = sin(2t)
Encontrar el área limitada entre esta curva y el eje x para 0 < t < π.
Primero, usamos la fórmula para el área limitada por una curva paramétrica y el eje x:
A = ∫π0 y dx
Ahora, la substituimos en la fórmula con las ecuaciones dadas. Reemplazamos primero para x:
También se Substituye la ecuación para y en la integral:
A = ∫π0 sin(2t) dx
= ∫π0 sin(2t) cos2(t) dt
Ahora, se realiza la integración:
A = ∫π0 sin(2t) cos2(t)dt
= -1/2 ∫π0 cos(t) d(sin(2t))
= -1/2 [(sin(2t)cos(t) – ∫π0 (sin(2t)sin(t)dt]π0
= -1/2 [(sin(2t)cos(t) – (-1/2)(cos(3t) – cos(t))]π0
= 1/2 (cos(t)sin(2t) + (1/2)(cos(3t) – cos(t)))π0
= 1/2 [(1 – 0) + (1/2)(-1 – 1)]
= -1/8
En conclusión, el área limitada entre esta curva paramétrica y el eje x para 0 < t < π es de -1/8.