.
Curvas y superficies de matemáticas: teoría explicada y ejemplos prácticos resueltos
Introducción: Lo que son las curvas y superficies de matemáticas
Las curvas y superficies de matemáticas son una herramienta importante para la resolución de problemas y la producción de modelos informáticos. Se usan para representar la función matemática que se encuentra detrás de la descripción de una superficie. Estas curvas y superficies se pueden construir usando los conceptos matemáticos de álgebra, geometría y estadística.
Por ejemplo, se puede usar una curva para representar el comportamiento de una función matemática real como el descenso en la altura de una pelota desde una torre. La curva mostrará la variación de la altura de la pelota en función del tiempo, mostrando el patrón matemático subyacente en la descripción de los movimientos de la pelota. Las curvas también se pueden usar para describir modelos 3D como los de un edificio o un coche, mostrando cómo los objetos cambian de forma en función de los parámetros variables.
Teoría explicada
Las curvas y superficies matemáticas pueden ser construidas a partir de ecuaciones simples que representan la función matemática subyacente. Una curva se construye a partir de una ecuación de la forma y=f(x) donde se permite una variación de x. Esta variación de x hará que la función cambie su valor y sea representada por la curva. Estas funciones se pueden representar en gráficos, donde los valores canónicos de x se representan en el eje X y los valores canónicos de y se representan en el eje Y. Estos gráficos se pueden usar para observar la variación de los valores de la función según cambien los valores de x.
Las superficies matemáticas se construyen usando ecuaciones tridimensionales, que representan la plataforma para modelar objetos en 3D. Estas ecuaciones pueden ser representadas en gráficos en los que se marcan valores canónicos para los ejes X, Y y Z y se producen diagramas tridimensionales que permiten ver la variación de los valores de la función según cambien los valores de los ejes. Estos diagramas tridimensionales se pueden usar para visualizar objetos matemáticos como los usados en modelado 3D.
Ejemplos prácticos resueltos con fórmulas
Ejemplo 1: Dado una curva cuyo gráfico es Y=Ax²+Bx+C, calcular los valores de A, B y C usando dos puntos proporcionados (x1, y1) y (x2, y2).
Solución: Primero reescribimos la ecuación para obtener los valores de A, B y C de la manera siguiente:
Y = A(x–x1)(x–x2) + y1(x–x2) + y2(x–x1)
Despejando A, B y C de la ecuación obtenemos:
A = (y1–y2)/((x1–x2)(x–x))
B = (y2–A(x2²–x1²))/ (x2–x1)
C = y1–A(x1²)–Bx1
Por lo tanto, los valores de A, B y C son:
A = (y1–y2)/((x1–x2)(x–x)), B = (y2–A(x2²–x1²))/ (x2–x1) y C = y1–A(x1²)–Bx1.
Ejemplo 2: Utilizando la ecuación del ejemplo anterior, despejar una tasa de variación entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2).
Solución: La tasa de variación entre dos puntos se puede calcular usando la ecuación:
Tasa de variación = ΔY/ΔX = (y2–y1)/(x2–x1)
Despejando los valores de ΔY y ΔX en la ecuación, obtenemos
ΔY = (y2–y1), ΔX = (x2–x1)
Por lo tanto, la tasa de variación entre (x1, y1) y (x2, y2) es ΔY/ΔX = (y2–y1)/(x2–x1).
Ejemplo 3: Construir una curva 3D a partir de los datos proporcionados X=1, Y=2, Z=7.
Solución: Primero reescribimos la ecuación en términos de x, y y z:
Z=f(x,y) = 7
Esta ecuación es una función tridimensional que representa la curva 3D a partir de los datos proporcionados. Esta curva 3D se puede representar en un gráfico tridimensional, donde los valores canónicos de x se representan en el eje X, los de y en el eje Y y los de z en el eje Z. La curva 3D se puede ver variando según los valores de x, y y z cambien.