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Definición de la Continuidad de Matemáticas
La continuidad en matemáticas es un concepto clave usado por matemáticos, ingenieros y científicos para estabilizar sistemas, predecir planteamientos y mejorar el rendimiento. Continuidad se refiere a la propiedad de una función matemática de llegar a un cierto resultado en un límite particular.
Una función puede ser discontinua si hay cambios en los resultados de la función dentro de un rango limitado. Esto significa que una función puede no ser diferenciable en un punto determinado. La discontinuidad se expresa a menudo mediante saltos o discontinuidades en el gráfico de una función.
Para estudiar la continuidad debe demostrarse que las siguientes condiciones se cumplan:
- La función es diferenciable en el punto correspondiente.
- El límite a izquierda de la función en el punto dado es igual al límite a la derecha.
- El límite de la primera derivada de la función en el punto correspondiente existe y es igual al valor de la primera derivada en el punto.
Ejemplos prácticos con fórmulas:
Ejemplo 1:
Encuentre la continuidad de la función en x = 4. Dada por f(x) = x^2 + 8x -7.
Primero, calculemos el límite de la función en x = 4.
límite cuando x se acerca a 4 = lim(x→4) (x2 + 8x – 7)
= lim(x→4) x2 + 8x – 7
= (4)2 + 8(4) – 7
= 16 + 32 – 7
= 41
Ahora, imagine la parte de la derecha de la función en x = 4.
límite cuando x se acerca a 4 desde la derecha = lim(x→4+) (x2 + 8x – 7)
= lim(x→4+) x2 + 8x – 7
= (4+)2 + 8(4+) – 7
= 16 + 32 – 7
= 41
Como se puede ver, los límites a la izquierda y derecha en x = 4 son iguales, por lo que la función es continua en x = 4.
Ejemplo 2:
Encuentre la continuidad de la función en x = 3. Dada por f(x) = (x + 1) / (x – 3)
Primero, calculemos los límites.
límite cuando x se acerca a 3 = lim(x→3) (x + 1) / (x – 3)
= lim(x→3) (x + 1) / (x – 3)
= lim(x→3) (3 + 1) / (3 – 3)
= (4) / (0)
= indefinido
Ahora, imagine la parte de la derecha de la función en x = 3.
límite cuando x se acerca a 3 desde la derecha = lim(x→3+) (x + 1) / (x – 3)
= lim(x→3+) (3 + 1) / (3 – 3)
= (4) / (0)
= indefinido
Como se puede ver, los límites a la izquierda y derecha en x = 3 son diferentes, por lo que la función es discontinua en x = 4.
Ejemplo 3:
Encuentre la continuidad de la función en x = 4. Dada por f(x) = (x^2 + x – 6) / (x – 4)
Primero, calculemos los límites.
límite cuando x se acerca a 4 = lim(x→4) (x2 + x – 6) / (x – 4)
= lim(x→4) (x2 + x – 6) / (x – 4)
= lim(x→4) (4 + 4 – 6) / (4 – 4)
= (2) / (0)
= indefinido
Ahora, imagine la parte de la derecha de la función en x = 4.
límite cuando x se acerca a 4 desde la derecha = lim(x→4+) (x2 + x – 6) / (x – 4)
= lim(x→4+) (4 + 4 – 6) / (4 – 4)
= (2) / (0)
= indefinido
Como se puede ver, los límites a la izquierda y derecha en x = 4 son diferentes, por lo que la función es discontinua en x = 4.