Definición y Propiedades Matemáticas
En esta clase vamos a estudiar la definición y propiedades matemáticas. Veremos cómo usar ciertos conceptos matemáticos como límites, derivadas, integrales y series para resolver problemas típicos. Al final de esta clase, entenderás los principios y propiedades básicas de la matemática moderna para aplicarlos en problemas de la vida real.
Problemas Prácticos
A continuación, mostraremos 3 ejemplos prácticos para aplicar los conceptos aprendidos.
Ejemplo 1: Resolviendo una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
Consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden $$\frac{dy}{dt} + ky = f(t)$$ donde $k$ es una constante y $f(t)$ es una función dada. La solución general para esta ecuación es $$y = e^{-kt}\left(\int_0^te^{ks}f(s)ds + c\right)$$ donde $c$ es una constante de integración. Si conocemos las condiciones iniciales $y(0) = y_0$ entonces $c$ se puede calcular insertando esta condición en la solución sugerida y re-estableciendo $$c = y_0 – \int_0^te^{ks}f(s)ds$$
Ejemplo 2: Resolviendo un Problema de Valor Inicial Para una Ecuación Diferencial No Lineal
Consideremos la ecuación diferencial no lineal $$y’ = f(y)$$ con la condición inicial $$y(0) = y_0$$. La solución general para esta ecuación es $$y(t) = y_0 + \int_0^tf(s)ds$$. Si sabemos la función $f(y)$, entonces el problema se resuelve integrando esta función para obtener la solución dada. Para el caso de una función más compleja, se puede usar un método numérico como Runge-Kutta para obtener una aproximación de la solución.
Ejemplo 3: Usando Series de Taylor para Aproximar Funciones
También se pueden usar series de Taylor para aproximar funciones cualquiera. Por ejemplo, consideremos la función $$f(x) = e^{2x}$$. La serie de Taylor para esta función en el punto $x = 0$ es $$f(x) \approx 1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \cdots$$ y se puede observar que la aproximación es mejor cuando se agregan más términos a la serie. Para calcular el error cometido con esta aproximación, podemos usar la fórmula del error para una serie de Taylor $$e(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)x^{n+1}}{(n+1)!}$$ donde $f^{(n)}$ es la derivada $n^{th}$ de la función $f$ y $c$ es un punto entre $x_0$ y $x$.
Conclusiones
En esta clase hemos aprendido cómo usar los principios y propiedades de la matemática moderna para resolver problemas de la vida real. Hemos visto 3 ejemplos prácticos aplicados con éxito. Con la práctica, puedes aplicar estos conceptos a problemas cada vez más complejos.