Clase sobre Derivadas de Matemáticas
La derivada matemática es un concepto fundamental en el aprendizaje de las matemáticas y la ciencia en general. Esta clase pretende descubrir qué es una derivada, cómo calcularlas y cuándo utilizarlas.
Teoría Explicada
Una derivada muestra la tasa de cambio de una función en cada punto. Matemáticamente, es el límite del cociente del cambio en la función y el cambio en la variable, cuando ambos se acercan cada vez más y más a 0. Por lo tanto, una derivada describe la rapidez con la que una cantidad cambia con respecto a la variación de otra.
En primer lugar, la derivada de una función se calcula como la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Esto significa que la pendiente es la tasa de cambio de la función en cada punto. Para encontrar la pendiente de una línea tangente, necesita encontrar la derivada de la función en ese punto. Las derivadas pueden también usarse para encontrar los máximos y mínimos de una función.
Ejemplos Prácticos Resueltos con Fórmulas
Ejemplo 1
Calculemos la derivada de la función f(x) = x + 2x2:
Usaremos la regla de la cadena para calcular esta derivada, la cual dice que la derivada de una función compuesta es igual a la derivada de la función interior multiplicada por la derivada de la función exterior:
f´(x) = (x + 2x2)´
= (x´ + 2 x 2´)
= 1 + (2 · 2x)
= 1 + 4x
Ejemplo 2
Calculemos la derivada de la función f(x) = 5x2 + 3x:
Usaremos la regla de la potencia para calcular esta derivada, la cual dice que la derivada de una función que involucre un exponente es igual al exponente multiplicado por la función elevado al exponente menos uno:
f´(x) = (5x2 + 3x)´
= (5x2´ + 3x´)
= (10x · x1) + (3 · 1)
= 10x2 + 3
Ejemplo 3
Calculemos la derivada de la función f(x) = (2x3 + 5x)2:
Usaremos la regla del producto (a veces llamada regla de deriva del producto) para calcular esta derivada, la cual dice que la derivada de un producto de funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda más la segunda multiplicada por la derivada de la primera:
f´(x) = (2x3 + 5x)2´
= 2 · (2x3 + 5x) · (2x3 + 5x)´
= 2 · (2x3 + 5x) · (6x2 + 5)
= 24x5 + 50x2 + 10x