Clase de Derivadas Inversas

Introducción:

Las Derivadas Inversas son una parte importante de la matemática y su uso es amplio. Pueden usarse para calcular el ángulo de una función, encontrar las raíces de un polinomio, resolver ecuaciones diferenciales y mucho más. En esta clase exploraremos cómo funcionan y cómo aplicar sus principios a problemas prácticos.

Teoría Explicada

En primer lugar, ¿Qué son las Derivadas Inversas? Son una ramificación de las Derivadas que implican el uso de la derivada para resolver problemas en lugar de simplemente usar la regla de la cadena para obtener la derivada de una función. Esto se explica de la siguiente manera: se tiene una función con una variable independiente, X, y una variable dependiente, Y. Entonces se toma la derivada de esa función con respecto a x, lo que nos da una nueva función. Esta es la función inversa, y su relación con la variable X ocurre en sentido inverso al de la primera función.

Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejercicio 1:

Encontrar la función inversa de la función dada: f(x) = 5x^2 + 3x + 1

Solución: La derivada de la función dada es f'(x) = 10x + 3. Esto es la función
inversa. Podemos ahora integrar esta función para encontrar la función inversa:

F(x)= \int (10x + 3) dx = 5x^2 + 3x + C

Donde C es una constante. Añadiendo la constante C, podemos encontrar la función inversa completa:

F(x) = 5x^2 + 3x + C

Ejercicio 2:

Encontrar la función inversa de la función dada: g(x) = 7x^3 + 5x^2 + 4x + 6

Solución: La derivada de la función dada es g'(x) = 21x^2 + 10x + 4. Esto es la función
inversa. Podemos ahora integrar esta función para encontrar la función inversa:

G(x)= \int (21x^2 + 10x + 4) dx = 7x^3 + 5x^2 + 4x + C

Donde C es una constante. Añadiendo la constante C, podemos encontrar la función inversa completa:

G(x) = 7x^3 + 5x^2 + 4x + C

Ejercicio 3:

Encontrar la función inversa de la función dada: h(x) = 3x^4 + 2x^3 + 6x + 7

Solución: La derivada de la función dada es h'(x) = 12x^3 + 6x^2 + 6. Esto es la función
inversa. Podemos ahora integrar esta función para encontrar la función inversa:

H(x)= \int (12x^3 + 6x^2 + 6) dx = 3x^4 + 2x^3 + 6x + C

Donde C es una constante. Añadiendo la constante C, podemos encontrar la función inversa completa:

H(x) = 3x^4 + 2x^3 + 6x + C