Introducción a Detección de Ruido en Series de Tiempo de Matemáticas
En esta clase vamos a aprender acerca de detección de ruido en series de tiempo de matemáticas. Discutiremos la teoría detrás de la detección de ruido y cómo usarlo para crear criterios para identificar patrones en series de tiempo. Luego tendremos varios ejemplos prácticos para ayudar a profundizar en la comprensión de la detección de ruido y cómo puede ser aplicado a problemas de series de tiempo.
¿Qué es la Detección de Ruido?
La detección de ruido es un proceso utilizado para identificar patrones en series de tiempo. Esto se logra mediane el análisis de la información de la serie de tiempo para determinar si hay algún elemento que se sale del patrón normal. Si se identifica un elemento así, se identifica como ruido y se separa del resto de los datos. Al identificar el ruido, podemos identificar patrones en la serie de tiempo que serían difíciles de ver de otra manera.
Ejemplo Práctico 1: Detección de Ruido en una curva de ajuste polinomial con un Método de Least Squares
Supongamos que tenemos una serie de datos que se ajuste a una curva polinomial. El siguiente es un ejemplo de una curva polinomial con datos con ruido:
En este ejemplo, tenemos una serie de datos con ruido alrededor de la curva ajustada. Estos puntos de ruido distorsionarían los resultados si se usara el Método de Least Squares para calcular los coeficientes del polinomio. La solución a esto es usar la detección de ruido para identificar qué puntos son parte del ruido, y luego eliminarlos del análisis.
Para hacer esto, primero calculemos los residuos del Método de Least Squares para la curva ajustada anterior. Los residuos son la diferencia entre los datos observados y los datos estimados con la curva ajustada. Para el ejemplo anterior, los residuos se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Residuosi = Yi – f(ti)
Donde Yi son los datos observados en el tiempo ti, y f(ti) es el valor de la curva ajustada en el tiempo ti.
Una vez que hemos calculado los residuos, podemos usar la detección de ruido para identificar los puntos que no se ajustan con la curva. El principio básico detrás de la detección de ruido es identificar aquellos valores que estén fuera del rango de los residuos esperados para una buena ajustada. Una forma de hacer esto es calcular la desviación estándar de los residuos y entonces determinar cualquier puntos que estén fuera del rango asociado con la desviación estándar. En nuestro ejemplo, la desviación estándar de los residuos se puede calcular con la siguiente fórmula:
?residuos = √ [∑ni=1 (Residuosi)2 / n]
Donde Residuosi son los valores de los residuos calculados anteriormente, y n es el número de datos.
Una vez que hemos calculado la desviación estándar de los residuos, podemos determinar cualquier punto que esté fuera de un rango asociado con la desviación estándar. Por ejemplo, podemos asumir que los puntos que se salen del rango de ±2 desviaciones estándar de los residuos son parte del ruido. Utilizando esto como criterio, podemos encontrar los puntos de ruido y excluirlos de nuestro análisis de Método de Least Squares.
En el ejemplo anterior, el uso de detección de ruido para eliminar los datos con ruido resultó en un mejor ajuste para los datos, lo que nos da un mejor resultado cuando se usa el Método de Least Squares.
Ejemplo Práctico 2: Detección de Ruido para Identificar Tendencias en Una Serie de Tiempo
Supongamos que tenemos una serie de datos con una tendencia compleja. Esta tendencia podría ser muy difícil de identificar con los ojos, pero podemos usar la detección de ruido para ayudarnos a detectarla. Para el ejemplo siguiente, tenemos una serie de datos que muestra una tendencia compleja:
Para analizar esta tendencia, primero deberíamos calcular los residuos entre los valores reales de la serie de tiempo y los valores esperados con la tendencia. Estos se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Residuosi = Yi – f(ti)
Donde Yi son los datos observados en el tiempo ti, y f(ti) es el valor esperado con la tendencia en el tiempo ti.
Una vez que hemos calculado los residuos, podemos usar la detección de ruido para determinar qué puntos no se ajustan con la tendencia. El principio básico de la detección de ruido es aplicar un criterio para distinguir entre los valores normales y los valores anormales. En este caso, nosotros usaremos la desviación estándar de los residuos como nuestro criterio. La desviación estándar de los residuos se puede calcular con la siguiente fórmula:
?residuos = √ [∑ni=1 (Residuosi)2 / n]
Donde Residuosi son los valores de los residuos calculados anteriormente, y n es el número de datos.
Una vez que hemos calculado la desviación estándar de los residuos, podemos aplicar nuestro criterio de detección de ruido para determinar qué puntos se salen del rango asociado con la desviación estándar. En este caso, usaremos el criterio de ±2 desviaciones estándar para identificar los puntos que no se ajustan bien con la tendencia. Utilizando este criterio, podemos encontrar los datos con ruido y excluirlos de nuestro análisis de detección de tendencia.
En el ejemplo anterior, el uso de detección de ruido para eliminar los datos con ruido resultó en una mejor detección de tendencia, lo que nos da un mejor resultado para nuestro análisis.
Ejemplo Práctico 3: Detección de Ruido para Identificar Tendencias Estacionales en Una Serie de Tiempo
Supongamos que tenemos una serie de datos con tendencias estacionales. Estas tendencias estacionales son difíciles de detectar con los ojos, pero podemos usar la detección de ruido para ayudar a identificarlas. Para el ejemplo siguiente, tenemos una serie de datos con una tendencia estacional:
Para analizar esta tendencia, primero deberíamos calcular los residuos entre los valores reales de la serie de tiempo y los valores esperados con la tendencia. Estos se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Residuosi = Yi – f(ti)
Donde Yi son los datos observados en el tiempo ti, y f(ti) es el valor esperado con la tendencia en el tiempo ti.
Una vez hemos calculado los residuos, podemos usar la detección de ruido para determinar cuales de los puntos se salen de la tendencia estacional. El principio básico de la detección de ruido es aplicar un criterio para distinguir entre los valores normales y los valores anormales. En este caso, nosotros usaremos la desviación estándar de los residuos como nuestro criterio. La desviación estándar de los residuos se puede calcular con la siguiente fórmula:
?residuos = √ [∑ni=1 (Residuosi)2 / n]
Donde Residuosi son los valores de los residuos calculados anteriormente, y n es el número de datos.
Una vez que hemos calculado la desviación estándar de los residuos, podemos aplicar nuestro criterio de detección de ruido para determinar cuales de los puntos se salen del rango asociado con la desviación estándar. En este caso, usaremos el criterio de ±2 desviaciones estándar para identificar puntos que no se ajustan bien con la tendencia estacional. Utilizando este criterio, encontramos los datos con ruido y excluimos los datos con ruido del análisis.
En el ejemplo anterior, el uso de detección de ruido para eliminar los datos con ruido resultó en una mejor detección de la tendencia estacional, lo que nos da un mejor resultado para nuestro análisis.
Conclusión
En esta clase aprendimos acerca de la detección de ruido en relacion con las series de tiempo matemáticas. Vimos cómo la detección de ruido puede usarse para identificar patrones en series de tiempo que pueden ocultarse debido al ruido. También aprendimos a usar la desviación estándar de los residuos como un criterio para identificar los puntos que se salen del patrón normal. Vimos tres ejemplos prácticos de cómo la detección de ruido se puede usar para identificar patrones e identificar ruido en una serie de tiempo.