Clase educativa sobre Determinantes de un sistema de ecuaciones lineales
Introducción
En esta clase, le enseñaremos acerca de los determinantes de un sistema de ecuaciones lineales. Que son los determinantes y cómo se calculan, así como los diferentes tipos de determinantes. Explicaremos también cómo utilizar los determinantes para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Al final, mostraremos ejemplos explicados y resueltos para que pueda entender la teoría y los cálculos.
Que son los determinantes
Los determinantes son herramientas importantes utilizadas para solucionar una matriz cuadrada – un arreglo de variables servicio a una o más ecuaciones lineales. Los determinantes se calculan a partir de los valores de las variables de la matriz, para mostrar si la matriz es linealmente independiente o si no lo es. Un determinante solo se puede usar para matrices cuadradas.
Tipos de determinantes
Existen dos tipos de determinantes que se pueden utilizar para solucionar un matriz cuadrada: el determinante de una matriz de dos por dos y el determinante de una matriz de 3×3. Ambas matrices tienen sus propios cálculos específicos y se usan para determinar si las variables de la matriz son linealmente independientes.
Utilizando determinantes para encontrar soluciones
Ahora que ya comprende lo que son los determinantes y los diferentes tipos de determinantes que existen, explicaremos cómo utilizarlos para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Primero, usará los valores de cada variable en la matriz para calcular el determinante – despeje los signos de igualdad de las ecuaciones para obtener los valores de la variable. Luego, utilizará el determinante para determinar si el sistema es linealmente independiente. Si el determinante es igual a 0, entonces el sistema no es linealmente independiente. Pero si el determinante es diferente a 0, entonces el sistema es linealmente independiente.
Ejemplos explicados y resueltos
Ejemplo 1
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
- 3x + y = 5
- 2x – 2y = 0
Primero, despejamos los signos de igualdad de las ecuaciones para obtener los valores de la variable:
- x = 2
- y = 1
Ahora, usamos los valores de x e y para calcular el determinante de la matriz:
- (3xs2) + (1x-2) = 8
Como el determinante es igual a 8, el sistema de ecuaciones lineales es linealmente independiente.
Ejemplo 2
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
- 3x + y + z = 0
- 2x – 2y + z = 5
- 2x + 2y – z = 3
Primero, despejamos los signos de igualdad de las ecuaciones para obtener los valores de la variable:
- x = -1
- y = 1
- z = 0
Ahora, usamos los valores de x, y e z para calcular el determinante de la matriz:
- ((3x-1)x(2×1)) + ((1×2)x(2x-1)) + ((-1×2)x(2×1)) = -4
Como el determinante es igual a -4, el sistema de ecuaciones lineales es linealmente independiente.
Ejemplo 3
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
- 3x + y – 2z = 6
- 2x – 2y + 3z = 5
- 4x + 5y + z = 4
Primero, despejamos los signos de igualdad de las ecuaciones para obtener los valores de la variable:
- x = -3
- y = 1
- z = 1
Ahora, usamos los valores de x, y e z para calcular el determinante de la matriz:
- ((3x-3)x(2×1)) + ((1×2)x(4×1)) + ((-2×4)x(5x-3)) = -52
Como el determinante es igual a -52, el sistema de ecuaciones lineales es linealmente independiente.
Conclusion
Esperamos que con esta clase, haya quedado claro lo que son los determinantes y cómo se pueden usar para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Hemos mostrado tanto la teoría como los cálculos de los ejemplos por separado, para que entienda cómo funciona el proceso.