Distribuciones de Probabilidad de Matemáticas
En esta dupla clase educativa nos centraremos en las distribuciones de probabilidad de matemáticas. Comenzaremos por aprender acerca de los conceptos básicos de estadística utilizados en distribuciones de probabilidad. Seguidamente profundizaremos cada una de estas distribuciones con ejemplos prácticos. Por último, expondremos una serie de ejercicios, los cuales servirán bien para reforzar los conceptos aprendidos durante estas clases.
Conceptos básicos de Distribución de Probabilidad
Una distribución de probabilidad es una función que describe la distribución de los valores de una variable aleatoria. Esta información está contenida en dos diagramas: uno de los histogramas y otro de la función de densidad. La función de densidad es una magnitud física que nos indica la probabilidad de que una determinada magnitud caiga en un punto dado.
Además, distribuciones de probabilidad se pueden separar en dos categorías: continuas y discretas. Las distribuciones continuas describen datos cuyos valores pueden tomar cualquier valor dentro de un cierto intervalo, mientras que las distribuciones discretas describen datos cuyos valores son discretos, es decir, que sólo pueden tomar un conjunto limitado de valores. Por ejemplo, el porcentaje de estudiantes que aprobaron un examen es una distribución discreta, mientras que la temperatura promedio de un día es una distribución continua.
Tipos de Distribuciones de Probabilidad
Existen diferentes tipos de distribuciones de probabilidad que podemos utilizar para describir nuestros datos. A continuación explicaremos las más comunmente utilizadas.
- Distribución Normal: Esta distribución es una distribución continua ‘bell-shaped’. Aparece en muchas situaciones de la vida real, como por ejemplo la distribución de alturas en un grupo de personas. Esta distribución es definida por dos parámetros: media y desviación estándar. La ecuación de esta distribución es la siguiente:
P(x) = (1/√2πσ²)*e-(x-μ)²/2σ² - Distribución Binomial : Esta distribución discreta se utiliza cuando los resultados de un experimento tienen una sola variable categórica y dos opciones. Por ejemplo, si lanzamos una moneda varias veces, el resultado puede ser cara o sello. La ecuación para esta distribución es la siguiente:
P(x)= (nx)p² (1-p)n-x - Distribución Poisson: Esta es otra distribución discreta, esta vez utilizada para describir la ocurrencia de determinados eventos. Por ejemplo, para describir el número de ventas que se harán en un día determinado. La ecuación para esta distribución es la siguiente:
P(x)= (λ^x/x!)e-λ
Ejemplos Prácticos de Distribuciones de Probabilidad
Ejemplo 1: Supongamos que tenemos una distribución normal con media 100 y desviación estándar 10. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de 120 o más en el examen?
Para responder a esta pregunta, primero debemos encontrar la esperanza teórica de una distribución normal:
Estimación de la esperanza: E(X) = μ = 100
Ahora debemos calcular la desviación estándar:
Desviación estándar: σ = 10
Ahora podemos calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 120 o más en el examen:
Puntuación en 120 o más: P(X>=120) = 1- P(X<=120)
Aplicando la fórmula de la distribución normal, obtenemos:
P(X>=120) = 1- (1/√2πσ²)*e-(120-μ)²/2σ²
P(X>=120) = 1- 0.8045 = 0.1955
Por lo tanto, la probabilidad de obtener una puntuación de 120 o más es de 0.1955.
Ejemplo 2: Supongamos que tenemos una distribución binomial con n = 5 y p = 0.5. La pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos?
Para responder esta pregunta, primero debemos calcular el número de éxitos esperados:
Número de éxitos esperados: n = 5
Ahora debemos calcular la probabilidad de obtener un éxito:
Probabilidad de un éxito: p = 0.5
Ahora podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos:
Puntuación en 3 exitos: P(X=3)= (5C3)0.5³ (1-0.5)² = 0.3125
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos es de 0.3125.
Ejemplo 3: Supongamos que tenemos una distribución de Poisson con λ = 7. La pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de realizar exactamente 3 llamadas en un día?
Para responder esta pregunta, primero debemos calcular el número de llamadas esperadas:
Número de llamadas esperadas: λ = 7
Ahora podemos calcular la probabilidad de realizar exactamente 3 llamadas en un día:
Número de llamaada: P(X=3) = (7^3/3!)e-7
P(X=3) = 0.1303
Por lo tanto, la probabilidad de realizar exactamente 3 llamadas en un día es de 0.1303.