Ecuaciones Y Desigualdades De Segundo Grado

Introducción

En esta clase aprenderemos a dominar los conceptos básicos de las ecuaciones y desigualdades de segundo grado. Estas son ecuaciones y desigualdades que contienen al menos una incógnita en un exponente de segundo grado (cuadratica). Vamos a practicar nuestras habilidades con varios ejemplos largos y prácticos.

Teoría

Una ecuación o desigualdad cuadrática contiene al menos una incógnita (una x o una y) en un exponente de segundo grado. Esto significa que la ecuación o desigualdad se puede representar en el siguiente formato:

ax² + bx + c = 0 ó ax² + bx + c > 0 ó ax² + bx + c < 0

Aquí, a, b, y c son números reales con a ≠ 0

Para resolver estas ecuaciones y desigualdades, primero tenemos que simplificar la ecuación para reducirla a la forma estándar:

ax² + bx + c = 0

Luego utilizamos la Fórmula Cuadrática para calcular las soluciones (si existen) para la ecuación. La fórmula cuadrática está dada por:

x = [-b ± sqrt(b² – 4ac)] / 2a

Si b² – 4ac < 0, entonces la ecuación no tendrá ninguna solución real. Si b² - 4ac = 0, entonces la ecuación tendrá una solución real. Y si b² - 4ac > 0, entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1:

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática

2x² – 3x = 6

Primero simplifiquemos la ecuación:

2x² – 3x – 6 = 0

Luego apliquemos la fórmula cuadrática para obtener las soluciones:

x = [3 ± sqrt(9 – (4)(2)(-6))] / (2)(2)

x = [3 ± sqrt(33)] / 4

x = [3 ± 5.74] / 4

x = 0.87 ó x = -4.87

Ejemplo 2:

Resuelve la siguiente desigualdad cuadrática

3x² + 5x² ≤ 8x

Simplifiquemos la desigualdad:

8x² + 5x ≤ 8x

8x² – 8x ≤ 0

Ahora despejemos la ecuación para obtener una desigualdad lineal:

x(8x – 8) ≤ 0

x(8x – 8) ≥ 0

x ≤ 0 ó x ≥ 8/8

x ≤ 0 ó x ≥ 1

Ejemplo 3:

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática

25x² + 4x = -60

Simplifiquemos la ecuación:

25x² + 4x + 60 = 0

Luego apliquemos la fórmula cuadrática para obtener las soluciones:

x = [-4 ± sqrt(16 – (25)(-60))] / (2)(25)

x = [-4 ± sqrt(1120)] / 50

x = [-4 ± 33.80] / 50

x = -0.76 ó x = 8.24