Clase de Ecuaciones Diferenciales Elípticas
¡Bienvenido a la clase de Ecuaciones Diferenciales Elípticas! En esta clase aprenderás lo que son Ecuaciones Diferenciales Elípticas y cómo resolverlas. Los primeros temas que abordaremos incluyen una explicación teórica general de Ecuaciones Diferenciales Elípticas, seguido de varios problemas prácticos para que puedas entender su aplicación.
¿Qué son las Ecuaciones Diferenciales Elípticas?
Las Ecuaciones Diferenciales Elípticas (EDE) son un tipo de edecuación diferencial que implica la resolución de una variable desconocida en un dominio multi-dimensional. Los principios básicos implican la utilización de funciones matemáticas para modelar los cambios en la variable desconocida a lo largo del dominio. Las EDE son relevantes en varias áreas, incluyendo la física, la ingeniería, la química y la matemática.
Ejemplos Prácticos
Problema 1: Resolver un EDE que describe una fase diferenciable
Resuelve el siguiente EDE para f (x):
f ‘(x) = x sin a
Solución: Usando la regla para derivado de un producto, la expresión se puede reescribir como
f ‘(x) = xsin a = a*x * (1/a) * Sin (a)
Ahora, usando la regla para derivaron de la función exponencial, esta se puede simplificar aún más
f ‘(x) = x sin a = a*x*e^(-a*x)*sin(a)
Finalmente, resolviendo la EDE para f (x) con la regla de la Integral, tendremos:
f (x) = -x e^(-a*x) + C
Problema 2: Resolver un EDE que describe una ley de conservación de energía
Resuelve el siguiente EDE para P (x):
P ’(x) = -2x³ + 12x²
Solución: Usando la regla para derivado de una función polinomial, la expresión se puede reescribir como
P ’(x) = -2x³ +12x² = -2*x^3 – 12*x^2
Ahora, integrando esta expresión con la Regla de Integral, obtendremos:
P (x) = -x^4/4 – 4x^3/3 + C
Problema 3: Resolver un EDE que describe la variación de temperatura de una sustancia
Resuelve el siguiente EDE para T (x):
T ’(x) = -2x + 6
Solución: Usando la regla para derivado de una función lineal, la expresión se puede reescribir como
T ’(x) = -2x + 6 = -2*x – 6
Ahora, integrando esta expresión con la Regla de Integral, obtendremos:
T (x) = -x² / 2 – 6x + C
Conclusiones
El contenido de esta clase te ha preparado para entender y aplicar los conceptos de Ecuaciones Diferenciales Elípticas. Tienes la capacidad de resolver varios EDE con resultados específicos a través de la integración y manipulación apropiada de funciones matemáticas. ¡Esperamos que hayas disfrutado de la clase!