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Clase: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Teoría Explicada:
Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una ecuación matemática que describe cambios en la trayectoria de un sistema dinámico usando la derivada parcial con respecto a una variable independiente. Una EDO es un punto importante para modelar sistemas complejos, como el movimiento de los cuerpos físicos, el flujo de calor, la propagación de señales, las importaciones de dinero, los precios de mercado, la propagación de luces, los flujos de tráfico, etc.
Los términos clave a conocer aquí son límite superior e inferior, condición inicial y solución de la ecuación diferencial. La solución de la EDO establece relaciones entre los límites superiores e inferiores. La condición inicial es necesaria para definir la última relación entre la línea superior e inferior. En general, se cree que esta ecuación es usada para modelar varios procesos dinámicos. Esta clase trata de explicar cómo se puede abordar un problema de ecuación diferencial ordinaria, con la solución final en términos de integrales parciales.
3 Ejemplos Largos Prácticos Resueltos:
Ejemplo 1: Resolver la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO):
xy’ + y = x sin(xy) ; con condición inicial y(0) = 1
La primera etapa para resolver esta EDO es transformar la EDO dada a una forma conocida, en este caso se necesita transformarla a esta forma standard:
y’ + (1/x)y = sin(xy)
Ahora, podemos dar paso a la solución general:
y = c + (1/y) ∫ x*sin(xy)dx
Donde c es una constante. Para encontrar la solución particular de la EDO, necesitamos obtener la constante c de la condición inicial. Así que reemplazamos la y (0) con 1 en igualdad para encontrar c:
1 = c + (1/y) ∫ 0^1*sin(0)dx
Lo cual resulta en c = 1. Por lo tanto, la solución general para la EDO dada es:
y = 1 + (1/x) ∫x*sin(xy)dx
Ejemplo 2: Resolver la siguiente EDO:
ye2y’ + y2 = e2lnx ; con condición inicial y(1) = 1
La primera etapa para resolver esta EDO es obtener la forma estándar transformando primero la ecuación dada a:
y’ + (1/e2)y2 = lnx
Ahora podemos pasar a la solución general:
y = c + (1/e2)*∫ lnx dx
Donde c es una constante. Para encontrar la solución particular de la EDO necesitamos obtener la constante c de la condición inicial. Así que reemplazamos la y (1) con 1 en la igualdad para encontrar c:
1 = c + (1/e2)∫ 1^lnx dx
Lo cual resulta en c = 1. Por lo tanto, la solución general para la EDO dada es:
y = 1 + (1/e2)∫ lnx dx
Ejemplo 3: Resolver la siguiente EDO:
x2y’ – sin x = 0 ; con condición inicial y(0) = 1
La primera etapa para resolver esta EDO es transformar la EDO dada a una forma estándar, en este caso, necesitamos transformar la EDO dada a:
y’ + (1/x2)sin x = 0
Ahora, podemos pasar a la solución general:
y = c + (1/x2)∫ sinx dx
Donde c es una constante. Para encontrar la solución particular de la EDO necesitamos obtener la constante c de la condición inicial. Así que reemplazamos la y (0) con 1 en la igualdad para encontrar c:
1 = c + (1/x2)*∫ 0^sinx dx
Lo cual resulta en c = 1. Por lo tanto, la solución general para la EDO dada es:
y = 1 + (1/x2)*∫ sinx dx