Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares

Introducción

Las ecuaciones paramétricas y las coordenadas polares son herramientas de matemáticas importantes para comprender los conceptos básicos relacionados con la geometría y la ciencia. En esta clase, aprenderán acerca de los usos y conceptos básicos de estos temas, así como tres ejemplos prácticos detallados de cada uno.

Teoría Explicada

Ecuaciones Paramétricas

Las ecuaciones paramétricas se refieren a un tipo de ecuación que usa variables dependientes y variables independientes. Por ejemplo, x(t) y y(t) son dos variables dependientes, mientras que t es una variable independiente. Las ecuaciones paramétricas pueden representar cualquier curva, como líneas, círculos, parábolas o incluso ecuaciones más complejas. La ecuación paramétrica se usa para representar curvas más complicadas que no pueden representarse como una sola ecuación.

Coordenadas Polares

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas que usa una distancia radial desde el origen, así como un ángulo para localizar un punto. Estas coordenadas se usan para describir gráficamente posiciones relativas y mediciones. El punto (0,0) está en el centro de la coordenada, llamada el origen. El radio representa el punto en la dirección radial, mientras que el ángulo representa el punto en la dirección angular. El ángulo se mide desde el eje x positivo, hacia el eje x negativo.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1 – Ecuaciones Paramétricas

Resuelva la ecuación paramétrica dada por:

x(t) = 2t + 4
y(t) = -3t + y2

Primero, encuentre el dominio y rango. El rango máximo es y2, mientras que el rango mínimo es -y2. El dominio es [tínf, tsup] donde tínf = 0 y tsup = 1, ya que ese es el rango de t mostrado en la ecuación.

Ahora, para encontrar la función, reste la primera ecuación de la segunda:

y(t) – x(t) = -3t + y2 – (2t + 4)

Simplificamos lo siguiente:

y(t) – x(t) = -5t + (y2 – 4)

Así, la función es:

y(t) – x(t) = -5t + (y2 – 4)

Ejemplo 2 – Coordenadas Polares

Resuelva las coordenadas polares dada por:

r = 3 sin θ
θ = 60°

Primero, encuentre la distancia radial. Esto se calcula multiplicando el radio por el seno del ángulo:

r = 3 × sen 60°
r = 3 × 0.866
r = 2.598

Ahora, encontramos las coordenadas cartesianas multiplicando la distancia radial por el coseno del ángulo y la distancia radial por el seno del ángulo:

x = 2.598 × cos 60°
x = 2.598 × 0.5
x = 1.299
y = 2.598 × sin 60°
y = 2.598 × 0.866
y = 2.25

Así, las coordenadas cartesianas son (1.299, 2.25).

Ejemplo 3 – Ecuaciones Paramétricas

Resuelva la ecuación paramétrica dada por:

x(t) = t2 − 5t + 7
y(t) = 3t − 2t2 +1

Primero, encuentre el dominio y rango. El rango máximo es +∞, mientras que el rango mínimo es -∞. El dominio es [tínf, tsup] donde tínf = 0 y tsup = 7, ya que ese es el rango de t mostrado en la ecuación.