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Estadística y modelos para series de tiempo de matemáticas
Esta clase explicará los conceptos básicos detrás del análisis estadístico y los modelos para series de tiempo. Mediante el uso de conceptos matemáticos, esta clase brindará una mejor comprensión de cómo los modelos pueden ayudar a predecir el comportamiento de una serie de tiempo, dado un conjunto de datos históricos. Además, se explicarán los conceptos básicos detrás de los principales modelos, y también se proporcionarán ejemplos prácticos resueltos para comprender los conceptos.
Contenido de la clase
- Introducción a los modelos para series de tiempo: Descripción general de los principales modelos, cómo se usan para predecir el comportamiento futuro y ejemplos de cada uno.
- Modelos de regresión lineal: Conceptos detrás de los modelos de regresión lineal y cómo son usados para pronosticar series de tiempo.
- Modelos estadísticos para pronosticar series de tiempo: Conceptos detrás de los modelos estadísticos para series de tiempo y cómo se usan para pronosticar series de tiempo.
- Modelos de series de tiempo no estacionarias: Conceptos detrás de los modelos no estacionarios para series de tiempo y cómo los usan para pronosticar series de tiempo.
- Nociones básicas de simulación estocástica: Conceptos detrás de la simulación estocástica y cómo se usa para pronosticar series de tiempo.
Ejemplos prácticos resueltos
Ejemplo 1: Estimación de un modelo lineal para una serie de tiempo
En este ejemplo, se estimará un modelo lineal para predecir el precio de un activo en el futuro. Usaremos el siguiente modelo:
Precio Futuro = Precio Actual + Rendimiento Esperado x (1 + Nivel de riesgo)
En primer lugar, debemos estimar los parámetros del modelo. El rendimiento esperado es la tasa de retorno esperada para una inversión y el nivel de riesgo mide el riesgo asociado con la inversión. Usaremos el enfoque de regresión lineal para estimar los parámetros.
Usaremos la siguiente ecuación para estimar los parámetros:
Coefficiente = Σxy – (Σx Σy)/N)/ (Σ x2-(Σx2/N))
En este ejemplo, los datos se presentan en la siguiente tabla:
| Período | Precio Actual | Rendimiento Esperado | Nivel de Riesgo |
|---|---|---|---|
| Período 1 | $150 | 15% | 1.2 |
| Período 2 | $200 | 20% | 1.4 |
| Período 3 | $250 | 25% | 1.5 |
| Promedio | $200 | 20% | 1.4 |
Usando la formula anterior, podemos calcular el coeficiente:
Coefficiente = (150 X 15 + 200 X 20 + 250 X 25 – (150 + 200 + 250) X (15 + 20 + 25) / 3)) /
(1502 + 2002 + 2502 – (150 + 200 + 250) 2/3 ) = 0.08
Luego, podemos usar la siguiente fórmula para calcular el precio futuro:
Precio Futuro = Precio Actual + Rendimiento Esperado X (1 + Nivel de riesgo)
Calculemos el precio futuro para el período 1:
Precio Futuro = 150 + 15% X (1 + 1.2) = $213.00
Ejemplo 2: Estimación de un modelo no lineal para una serie de tiempo
En este ejemplo, estimaremos un modelo no lineal para pronosticar el precio de un activo en el futuro. Usaremos la siguiente ecuación para calcular el precio:
Precio Futuro = Precio Actual X (1 + Tasa de Crecimiento)
Usaremos la siguiente ecuación para estimar los parámetros:
Tasa de crecimiento = (Promedio Precio Futuro / Promedio Precio Actual)
Los datos se presentan en la siguiente tabla:
| Período | Precio Actual | Precio Futuro |
|---|---|---|
| Período 1 | $150 | $175 |
| Período 2 | $200 | $225 |
| Período 3 | $250 | $275 |
| Promedio | $200 | $225 |
Usando la formula anterior, podemos calcular la tasa de crecimiento:
Tasa de crecimiento = (Promedio Precio Futuro / Promedio Precio Actual = 225 / 200 = 1.125)
Luego, podemos usar la siguiente fórmula para calcular el precio futuro:
Precio Futuro = Precio Actual X (1 + Tasa de Crecimiento)
Calculemos el precio futuro para el Período 1:
Precio Futuro = 150 X (1 + 1.125) = $168.75
Ejemplo 3: Estimación de un modelo de series de tiempo no estacionario
En este ejemplo, estimaremos un modelo no estacionario para pronosticar el precio de un activo en el futuro. Usaremos la siguiente ecuación para calcular el precio futuro:
Precio Futuro = Precio Actual X (1 + Tasa de Crecimiento X Factor de Inflación)
Usaremos la siguiente ecuación para estimar los parámetros:
Tasa de crecimiento = (Promedio Precio Futuro – Promedio Precio Actual) / Promedio Precio Actual
Factor de inflación = (Promedio Precio Futuro / Promedio Precio Actual)
Los datos se presentan en la siguiente tabla:
| Período | Precio Actual | Precio Futuro |
|---|---|---|
| Período 1 | $150 | $175 |
| Período 2 | $200 | $225 |
| Período 3 | $250 | $275 |
| Promedio | $200 | $225 |
Usando la formula anterior, podemos calcular la tasa de crecimiento:
Tasa de crecimiento = (Promedio Precio Futuro – Promedio Precio Actual) / Promedio Precio Actual = (225 – 200) / 200 = 0.125
También podemos calcular el factor de inflación:
Factor de inflación = (Promedio Precio Futuro / Promedio Precio Actual) = 225 / 200 = 1.125
Luego, podemos usar la siguiente fórmula para calcular el precio futuro:
Precio Futuro = Precio Actual X (1 + Tasa de Crecimiento X Factor de Inflación)
Calculemos el precio futuro para el Período 1:
Precio Futuro = 150 X (1 + 0.125 X 1.125) = $175.31