Desarrollo de la fórmula general para una ecuación cuadrática
Introducción
La ecuación cuadrática es una ecuación con grado dos en la forma ax2 + bx + c = 0. En esta clase exploraremos la forma general para resolver esta ecuación, así como explicaremos los fundamentos detrás de su desarrollo.
Teoría Explicada
Unir los puntos A (a, b, c) y C (x2, x, 1) de una ecuación cuadrática, como se muestra a continuación, nos da la respuesta a la ecuación cuadrática:
El producto de los dos punteros de la lengüeta de la ecuación cuadrática debe ser igual al producto de los dos puntos extremos de la parábola, como se muestra a continuación:
A (a, b, c) x C (x2, x, 1) = D (1, -b/a, c/a)
De esto se deduce la siguiente ecuación (sustituyendo los valores A y C en la ecuación anterior):
a x2 + bx + c = a (x2 + b c/a x + c/a)
De esta ecuación, se deriva la Fórmula General para una ecuación cuadrática de la siguiente manera:
x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a
Ejemplos Prácticos Resueltos con Fórmulas
Ejemplo 1: Ecuación cuadrática 3x2 – 2x – 7 = 0
Sustituyendo los valores de los coeficientes en la Fórmula General, se obtiene:
x = (-(-2) ± √((-2)2 – 4 (3)(-7))) / 2(3)
x = (2 ± √((4) – (-84))) / 6
x = (2 ± √88) / 6
x = (2 ± √2 x √44) / 6
x = (2 ± 2√11) / 6
Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son x = (2 + 2√11) / 6 y x = (2 – 2√11) / 6.
Ejemplo 2: Ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0
Sustituyendo los valores de los coeficientes en la Fórmula General, se obtiene:
x = (-5 ± √((5)2 – 4 (2)(3))) / 2(2)
x = (-5 ± √((25) – (24))) / 4
x = (-5 ± √1) / 4
Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son x = (-5 + 1) / 4 y x = (-5 – 1) / 4.
Ejemplo 3: Ecuación cuadrática x2 + 6x + 3 = 0
Sustituyendo los valores de los coeficientes en la Fórmula General, se obtiene:
x = (-6 ± √((6)2 – 4 (1)(3))) / 2(1)
x = (-6 ± √((36) – (12))) / 2
x = (-6 ± √24) / 2
Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son x = (-6 + √24) / 2 y x = (-6 – √24) / 2.