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Formulas de la Derivada
Bienvenido a la clase educativa sobre las Formulas de la Derivada de matemáticas. Aquí aprenderás cómo calcular la derivada de una función a través de fórmulas paso a paso. Entraremos en la teoría explicada detrás de la derivación, así como 3 ejemplos prácticos y detallados.
Introducción a Derivadas
Una derivada es una expresión matemática representada por una función que describe la tasa de cambio de una función en un punto dado. La derivada puede usarse para identificar los puntos máximos y mínimos de una función, y también puede ser utilizada para hallar la pendiente de una función en un punto dado. La derivada/derivación es un concepto matemático importante, que se puede calcular a partir de fórmulas. En esta clase, se explicarán las distintas fórmulas de la derivada y su aplicación a la resolución de problemas matemáticos.
Fórmulas de la Derivada
A continuación se presentan algunas de las fórmulas más comunes a la hora de derivar una función:
- Derivada Conocida (Primitiva):
$$ \frac{dy}{dx} = f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \int f(x) \mathrm{d}x $$ - Derivada de una Suma o Diferencia de Funciones:
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x) \pm g(x)] = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \pm \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} $$ - Derivada de un Producto de Funciones
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$ - Derivada de un Cociente de Funciones
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) – g'(x)f(x)}{[g(x)]^2} $$
Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1
Calcular la Derivada de $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$.
Usaremos la formula Derivada Conocida (Primitiva):
$$ \frac{dy}{dx} = f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \int f(x) \mathrm{d}x $$
Primero distinguimos la variable independiente ($x$) y la variable dependiente ($y$). Entonces, tenemos $y = x^3 + 3x^2 + 1$ y $x = x$.
La derivada primitiva de $f(x)$ es:
$$ \int \left( x^3 + 3x^2 + 1 \right) \mathrm{d}x = x^4/4 + x^3 + x + C$$
Ejemplo 2
Calcular la Derivada de $g(x) = \frac{x^2 – 5x – 7}{2x^2 + 7x + 4}$.
Usaremos la formula de la Derivada de un Cociente de Funciones:
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) – g'(x)f(x)}{[g(x)]^2} $$
Tenemos así $f(x) = x^2 – 5x – 7$ y $g(x) = 2x^2 + 7x + 4$. Comenzando con la derivada de $f(x)$, obtenemos:
$$ f'(x) = 2x – 5 $$
Ahora, calculamos la derivada de $g(x)$:
$$ g'(x) = 4x + 7 $$
Sustituyendo los valores de $f'(x)$ y $g'(x)$ en la fórmula, obtenemos:
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x^2 – 5x – 7}{2x^2 + 7x + 4}\right) = \frac{(2x – 5)*(2x^2 + 7x + 4) – (4x + 7)*(x^2 – 5x – 7)}{[2x^2 + 7x + 4]^2} $$
Y la solución final de la derivada es:
$$ \frac{2x^3 – 9x^2 + 10x – 15}{(2x^2 + 7x + 4)^2}$$
Ejemplo 3
Calcular la derivada de $h(x) = (2x^2 + 3x +7) (x^4 + x^2 -x +8)$.
Utilizaremos la formula de la Derivada de un Cociente de Funciones:
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
Distinguiendo la variable independiente ($x$) y la variable dependiente ($y$), tenemos $y = (2x^2 + 3x +7) (x^4 + x^2 -x +8)$ y $x = x$. La derivada total de $h(x)$ será la suma de la derivada de $f(x)$ y de la derivada de $g(x)$:
$$ h'(x) = (2x^2 + 3x +7)'(x^4 + x^2 – 2x +8) + (2x^2 + 3x +7)(x^4 + x^2 -2x +8)’ $$
Calculando primero la derivada de $f(x):
$$ (2x^2 + 3x +7)’ = 4x + 3 $$
Ahora, la derivada de $g(x):
$$ (x^4 + x^2 -2x +8)’ = 4x^3 + 2x -2 $$
Reemplazando $f'(x)$ y $g'(x)$ en la formula anterior:
$$ h'(x) = (4x + 3)(x^4 + x^2 -2x +8) + (2x^2 + 3x +7)(4x^3 + 2x -2) $$
Y la solución después de desarrollar la multiplicación es:
$$ h'(x) = 7x^7 + 19x^5 -5x^4 -17x^3 -4x^2 -6x -8 $$
Conclusiones
En esta clase, hemos aprendido cómo calcular la derivada a través de fórmulas. Hemos verificado cómo aplicar las fórmulas con 3 ejemplos prácticos resueltos, usando las distintas fórmulas de la derivada. Debemos poner especial cuidado al distinguir la variable independiente y la variable dependiente para proceder con el cálculo.