Clase sobre Funciones Diferenciables
En esta clase de Matemáticas vamos a estudiar sobre funciones diferenciables. Una función diferenciable es aquella cuyo valor, en un punto determinado, puede ser determinado por el cálculo de su derivada. Esta clase se enfocará en diferentes aspectos relacionados con la teoría de funciones diferenciables y se incluirán ejemplos resueltos con fórmulas.
Teoría Explicada
Para entender mejor concepto de una función diferenciable primero debemos definir que es una función. Una función es una relación entre dos conjuntos de variables que asigna a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo conjunto. Por lo que una función diferenciable es aquella cuyo valor en un punto determinado se puede calcular mediante el cálculo de su derivada. Esto se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo.
Es importante comprender que una función diferenciable es siempre contínua, sin embargo, una función continua no siempre será diferenciable. Esto quiere decir que una función puede ser contínua sin ser diferenciable en algunos puntos. La diferenciación es importante ya que puede ayudarnos a encontrar los valores más mínimos y máximos de una función, determinar el comportamiento de una función en algunos puntos, así como determinar su variación.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1: Consideremos una función diferenciable que se expresa como:
f(x) = x3 + 2x2 -1
Primero vamos a calcular la derivada de la función:
f'(x) = 3x2+4x
Ahora podemos usar la derivada para encontrar los valores máximos y mínimos de nuestra función, para esto de igualamos nuestra derivada a cero así:
3x2+4x = 0
De esta ecuación encontramos las raíces x = 0 y x = -4/3. Estas raíces nos indican los puntos en donde nuestra función presenta un mínimo o un máximo. Para comprobar esto podemos evaluar la función en el valor de estas raíces. Por ejemplo, cuando x = 0 la función f(x) es igual a -1, lo cual nos indica que -1 es el valor mínimo de la función.
Ejemplo 2: Consideremos la siguiente función diferenciable:
f(x) = x4 -x2 +2
Vamos a calcular la derivada de la función así:
f'(x) = 4x3 – 2x
Ahora vamos a calcular los valores máximos y mínimos de nuestra función, para ello igualamos la derivada a cero así:
4x3 -2x = 0
Esta ecuación tiene tres soluciones: x = 0, x = -1/2 y x = 1/2. Al evaluar la función en estos puntos encontramos que el valor mínimo de la función es f(1/2) = 0,5 y el valor máximo es f(-1/2) = 2,75.
Ejemplo 3: Consideremos una función diferenciable que se expresa como:
f(x) = x3 + 2x2 + x
Primero vamos a calcular la derivada de la función así:
f'(x) = 3x2 + 4x + 1
Ahora vamos a encontrar los valores máximos y mínimos de nuestra función. Para ello igualamos la derivada a cero así:
3x2 + 4x + 1 = 0
Tenemos dos soluciones para esta ecuación: x = -1 y x = -1/3. Al evaluar la función en estos dos puntos encontramos que el valor mínimo de la función es f(-1) = 0 y el valor máximo es f(-1/3) = 23/27.