Introducción a las Funciones Polinomiales
Las funciones polinomiales son aquellas cuyo dominio se representan por el intervalo cerrado [a, b], que pueden tener como exponentes un número real positivo. Estas funciones ofrecen una amplia gama de herramientas a la hora de modelar y analizar problemas reales y su estudio es de suma importancia para la comprensión de conceptos avanzados relacionados con el análisis matemático. En este tutorial explicaremos la teoría básica relacionada con estas funciones, así como proporcionaremos algunos ejemplos prácticos resueltos con fórmulas y gráficos. Empezaremos examinando las fórmulas básicas para construir una función polinomial y, a continuación, estudiaremos los criterios de continuidad e intervalos de crecimiento que permiten determinar el carácter de la función. Finalmente, a través de los ejemplos, aplicaremos cada uno de los conceptos explicados con anterioridad.
Fórmula para construir una función polinomial
Una función polinomial tiene la forma f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0, donde an, an-1, …, a0 son números reales y n un entero mayor o igual a 0.
Lo primero que hay que determinar para poder construir cualquier función polinomial es su grado, es decir, el valor de n. Es importante tener en cuenta que el grado debe ser siempre mayor o igual a 0 (ya que, para los grados menores a 0, las funciones no son polinomiales), y el número de coeficientes (an, an-1, …, a0) que se necesitan para construir una función polinomial es igual al grado más uno (ya que suponemos siempre que los grados empiezan a contar desde 0).
Ejemplos prácticos de funciones polinomiales resueltos con fórmulas
Ahora que ya hemos aprendido cómo construir una función polinomial, vamos a ver algunos ejemplos prácticos de cómo resolver problemas de matemáticas utilizando este tipo de funciones.
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de una función polinomial
- (1) Sabemos que su grado es 5
- (2) Y que su derivada primera es 3x⁴-2x³+3
- (3) Además, conocemos el valor de la función en x=1
En primer lugar, para determinar el valor de los coeficientes hay que solucionar la ecuación diferencial obtenida al derivar la función
f'(x)=3x⁴-2x³+3
Cuyo resultado sería la siguiente función
f(x)=x⁵-1/2x⁴+3/2x³+c
Si ahora aplicamos el conocimiento de que f(1)=9 se obtiene el valor de c:
f(1)=9 ≈ 1−1/2+3/2+ c=9 ≈ c=7 1/2
Por lo tanto, la solución a este problema sería
F(x)=x⁵-1/2x⁴+3/2x³+7 1/2
Ejemplo 2: Determinar la zona de crecimiento y los puntos de inflexión de una función polinomial de grado 3
- (1) Conocemos la forma de la función
- (2) Y que su derivada segunda es 12x
Primero, hay que calcular los diferentes coeficientes para poder conocer los diferentes puntos de la curva
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Para ello hay que integrar la derivada segunda para obtener la primera:
f'(x)= 3ax²+2bx+c
Y, a su vez, la primera para llegar a la función
f(x)= ax³+bx²+cx+d
Ahora hay que despejar los coeficientes:
- Determinando a=12
- Y, despejando b de la ecuación f(1)=-11, obtenemos b=-11/2
- Del mismo modo, obtenemos c=-3 al despejarlo de f(-2)=-43
- Finalmente, al despejar d de f(3)=29, obtenemos d=89
Finalmente, la ecuación de la función sería
f(x)=12x³-11/2x²-3x+89
Ahora, para encontrar el rango de crecimiento debemos hallar los puntos de inflexión. Esto se realiza calculando el punto donde la derivada primera sea igual a 0.
f'(x)= 3ax²+2bx+c ≈ 3*12*x²-11/2*x-3 = 0
Calculando la solución de esta ecuación, obtendríamos los puntos de inflexión:
x=1 y x=-3/2
Del mismo modo, para encontrar el rango de crecimiento se debe determinar para qué valores la derivada primera es mayor que 0 (esto indica que para dicho valor la función está aumentando) y para qué valores es menor que 0 (esto indica que para dicho valor la función está disminuyendo).
f'(x)= 3ax²+2bx+c ≈ 3*12*x²-11/2*x-3 > 0
Al solucionar esta desigualdad, conseguiremos la zona de crecimiento:
x1 = -3/2 y xd = 1
Ejemplo 3: Encontrar los máximos y mínimos relativos de una función polinomial
- (1) Sabemos que su grado es 3
- (2) Y que su derivada primera es -3x²-4x+5
Primero, hay que determinar los coeficientes de la función con las ecuaciones necesarias.
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Para ello hay que integrar la derivada primera para obtener la función:
f'(x)= -3x²-4x+5
Y, a su vez, la primera para llegar a la función
f(x)= ax³+bx²+cx+d
Ahora hay que despejar los coeficientes:
- Determinando c a=6
- Y, despejando b de la ecuación f(2)=4, obtenemos b=-2
- Del mismo modo, obtenemos c=-7 al despejarlo de f(4)=19
- Finalmente, al despejar d de f(0)=15, obtenemos d=15
Finalmente, la ecuación de la función sería
f(x)=6x³-2x²-7x+15
Ahora, para determinar dónde encontrar los máximos y mínimos relativos hay que calcular cuándo la derivada primera es igual a 0
f'(x)= -3x²-4x+5 ≈ -3x²-4x+5 = 0
Y, solucionando la ecuación, obtendremos los puntos donde se producen dichos máximos y mínimos:
x¹ = 1/2 y x² = 5/2
Por último, hay que determinar si el punto resultante es un máximo o un mínimo hallando el signo de la segunda derivada en cada uno de estos valores:
- En x¹=1/2 tenemos que f»(1/2)=-6 < 0, por lo que el punto es un mínimo relativo
- En x²=5/2 tenemos que f»(5/2)=-6 > 0, por lo que el punto es un máximo relativo
Conclusión
En este tutorial aprendimos los conceptos básicos para poder construir una función polinomial, así como la teoría necesaria para poder determinar sus diferentes propiedades. Finalmente, vimos cómo aplicar cada una de estas teorías a través de ejemplos prácticos. Esperamos que esta clase le haya servido para entender con mayor profundidad las funciones polinomiales y, de esta forma, pueda mejorar sus conocimientos en Matemáticas.