Clase educativa sobre Funciones Racionales

Descripción general

Las funciones racionales son aquellas funciones matemáticas en las cuales el numerador y el denominador son polinomios. Estas funciones pueden ser modeladas por gráficos de línea recta, es decir, representados por rectas. La funciones racionales son útiles para expresar relaciones en la ciencia, economía, ingeniería y física.

Teoría Explicada:

Las funciones racionales consisten en una fracción que involucra polinomios en el numerador y el denominador de la fracción. Esta fracción se escribe de la forma f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Por lo tanto, las gráficas de las funciones racionales son lineales, esto significa que se grafican con lineas rectas. Una de las principales propiedades de estas funciones es que tienen una asíntota vertical en cada punto donde el denominador es igual a ceero.

Una de las maneras de determinar la función racional es descomponerla en fracciones simples. Esto se puede realizar dividiendo el numerador y denominador del polinomio y separando los factores en fracciones simples. Estas fracciones simples se pueden graficar para obtener la gráfica de la función racional completa.

Ejemplos Prácticos:

Ejemplo 1

Encontrar la gráfica de f(x) = 3x + 8 / x² – 4x + 5

Solución:

Para encontrar el gráfico se deben fracturar primero los factores del numerador y del denominador para obtener fracciones simples. Para el numerador, se tendrá 3x + 8 = (3x + 5) + 3 / 1 y para el denominador se tendrá x² – 4x + 5 = x² – 5x + x – 5 / 1. Por lo tanto, el resultado de la descomposición será f(x) = (3x + 5) / 1 + 3 / 1 – (x – 5) / 1.

Ahora se pueden graficar las fracciónes simples obtenidas. Se tendrá una línea vertical en x = 5 para la fracción (x – 5) / 1 y una línea horizontal en y = 3 para la fracción 3 / 1. Para la fracción (3x + 5) / 1, se tendrá una línea recta que pasa por los puntos (5, 3) y (0, -2). Por lo tanto, la gráfica de la función f(x) es la figura mostrada a continuación:

Ejemplo 2

Encontrar la gráfica de f(x) = (x + 3) / (x² – 3x + 2)

Solución:

Para encontrar el gráfico se deben fracturar primero los factores del numerador y del denominador para obtener fracciones simples. Para el numerador, se tendrá x + 3 = (x + 2) + 1 / 1 y para el denominador se tendrá x² – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1) / 1. Como resultado de la descomposición obtendremosf(x) = (x + 2) / 1 + 1 / 1 – (x – 2)(x – 1) / 1.

Ahora se pueden graficar las fracciónes simples obtenidas. Habrá una línea vertical en x = 1 para la fracción (x – 1) / 1 y una línea rota que pasa por los puntos (1, -1) y (2, 0) para la fracción (x – 2) / 1. Para la fracción (x + 2) / 1 + 1 / 1, se tendrá una línea recta que pasará por los puntos (2, 3) y (0, 1). Por lo tanto, la gráfica de la función f(x) quedará como sigue:

Ejemplo 3

Encontrar la gráfica de f(x) = (3x – 5) / (x² + x – 2)

Solución:

Para encontrar el gráfico se deben fracturar los factores del numerador y del denominador para obtener fracciones simples. Para el numerador se tendrá 3x – 5 = (3x – 2) + 3 / 1 y para el denominador pondremos x² + x – 2 = (x + 2)(x – 1) / 1. Por lo tanto, el resultado de la descomposición queda f(x) = (3x – 2) / 1 + 3 / 1 – (x + 2)(x – 1) / 1.

Ahora se pueden graficar las fracciones simples obtenidas. Se tendrá una línea rota que pasará por los puntos (-2, -1 y (1, 0 para la fracción (x + 2) / 1 y una línea vertical en x = 1 para la fracción (x – 1) / 1. Para la fracción (3x – 2) / 1 + 3 / 1, se tendrá una línea recta que pasa por los puntos (1, 5 y (0, 2). Por lo tanto, la gráfica de la función f(x) tendrá la siguiente forma: