Clase sobre Funciones Uniformemente Continuas

Introducción

Una función uniformemente continua es una función cuyo resultado es siempre el mismo en igualdad de condiciones. Por ejemplo, una función que relaciona el tiempo con la velocidad de un coche sería una función uniformemente continua: para un determinado tiempo, el coche tendrá siempre la misma velocidad. Esta clase explora las propiedades de las funciones uniformemente continuas en matemáticas y presenta tres ejemplos prácticos.

Teoría

Una función es uniformemente continua si cumple dos condiciones. Primero, que la función es continua en todos los impulsos definidos. Segundo, que la función es limitada en los límites fijados por la ecuación. Estas dos condiciones significan que aunque los valores de la función varíen en continuo, el resultado mantendrá determinado número constante. Esto quiere decir que los resultados serán consistentes para la misma función.

Una característica esencial de las funciones uniformemente continuas es que son inversibles. Esto significa que se puede encontrar el valor de la función para un determinado valor de x. Esto también significa que las funciones uniformemente continuas son biyectivas, es decir, tienen una sola solución para cada pareja de valores x,y. Esta característica hace que las funciones uniformemente continuas sean útil para la solución de muchos problemas matemáticos.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente función y = f (x):

y = 2x + 5

Esta función es uniformemente continua porque para cualquier valor constante de x, el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo, para x = 0,5, el resultado será y = 6,5. Para x = 1, el resultado será y = 7. Esta regla se seguirá para cualquier valor de x: el resultado siempre será el mismo. Esta función se puede invertir fácilmente para encontrar el valor de x a partir del valor de y. Por ejemplo, para y = 7, el resultado será x = 1. Esta característica de inversión convierte a esta función en una función uniformemente continua.

Ejemplo 2

Consideremos la siguiente función y = f (x):

y = 3×2 – 4x + 2

Esta función es también uniformemente continua. Para cualquier valor de x, el resultado será el mismo. Por ejemplo, para x = 1, el resultado será y = 0. Para x = 2, el resultado será y = -2. Esta regla se seguirá para cualquier valor de x: el resultado siempre será el mismo. Esta función también se puede invertir fácilmente para encontrar el valor de x a partir del valor de y. Por ejemplo, para y = -4, el resultado será x = 1,5. Esta característica hace que esta función también sea una función uniformemente continua.

Ejemplo 3

Consideremos la siguiente función y = f (x):

y = 5×4 + 7×3 – 4×2 + 1

Esta función también es uniformemente continua. Para cualquier valor de x, el resultado será el mismo. Por ejemplo, para x = 2, el resultado será y = 253. Para x = 3, el resultado será y = 1486. Esta regla se seguirá para cualquier valor de x: el resultado siempre será el mismo. Esta función también se puede invertir fácilmente para encontrar el valor de x a partir del valor de y. Por ejemplo, para y = 253, el resultado será x = 2. Esta característica de inversión convierte a esta función también en una función uniformemente continua.